Differentiaalvergelijkingen

Gegeven is de recursieformule G(t+1)=G(t)+ 0.6·G(t)·(1-0.0005·G(t)) t=tijd in weken G(0)=25 gram.

a. Bereken in 1 decimaal nauwkeurig het gewicht na 2 weken. Volgens het antwoordenboekje moe je 25 invullen en komt er 63,2 uit. Maar ik begrijp niet hoe of waar je die 25 dan moet invullen.

Gegeven is G(t+1)= G(t)+0.6·G(t)·(1-0.0005·G(t))
De differentievergelijking is dus 0.6·G(t)·(1-0.0005·G9t))

Nu staat er verder in het antwoordenboekje dat de recursieve formule is te schrijven in de vorm G(t+1)=a·G(t)+b·(G(t))² Je moet dan de waarden van a en b berekenen.
Je had dus G(t)+0.6·G(t)·(1-0.0005·G(t)). Als je die 0.6·G(t) met 1 vermenigvuldigt en daarna met -0.0005·G(t) dan krijg je G(t)+0.6·G(t)-0.003 G²(t). Dan tel je bij die eerste G(t) die 0.6 G(t) op en krijg je 1.6·G(t)-0.003 G².(t). Volgens het antwoordenboekje is a dan 1,6·G(t) en b is -0.003·G²(t). Tot hier snap ik het ook wel ongeveer .
Maar dan moet je de evenwichtswaarde berekenen en daar moet 0 en 2000 uitkomen, maar ik weet echt niet hoe ze daar aan komen, want ik krijg het er niet uit.

S
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 24 november 2002

Antwoord

Hoi,

We hadden al een aantal vragen uit deze serie:
Evenwichtswaarde bij logistische groei en Groeifactor/verzadigingsniveau.

Dit is in ieder geval een goed begin, maar je vragen gaan wel iets verder.

Eerst vermoed ik dat het begrip 'recursieve formule' niet heel duidelijk is voor je.

G(t) stelt het gewicht van een grootheid voor na t weken.
We beginnen met 25g. Dit betekent dat G(0)=25g. Die recursieformule laat je toe om G(t+1) te berekenen wanneer je G(t) kent. Welnu, we kennen G(0) en met de recursieformule dus G(1) en dan G(2),G(3),G(4), ... en uiteindelijk de gewichten na een willekeurig aantal weken.

Concreet hebben we dus:
G(0)=25g
G(1)=G(0)+0,6·G(0)·(1-0,0005·G(0))=25+0,6.25.(1-0,0005.25)=39,81250g
G(2)=G(1)+0,6·G(1)·(1-0,0005·G(1))=39,81+0,6·39,81·(1-0,0005·39,81)=63,22449g of afgerond: 63.2g
(bemerk dat je best met meer decimalen rekent en pas op het laatste afrondt op de gevraagde nauwkeurigheid)

Verder wil je die formule in de vorm a.G(t)+b.(G(t))² zetten. Ik vermoed dat ze dit doen omdat ze ergens een formule voorstellen voor de limietwaarde in functie van a en b. Je moet dit eens nakijken.

Het kan inderdaad kloppen. Voor de limietwaarde, zal er geen gewichtverandering meer zijn. Dus zal G(t+1)=G(t). Met de recursieformule hebben we: G(t+1)=a.G(t)+b.(G(t))² en de voorwaarde voor evenwicht stelt dat G(t+1)=G(t). Gecombineerd is dit: G(t)=a.G(t)+b.(G(t))², waaruit: G(t)=0 of G(t)=(1-a)/b. De mogelijke evenwichtswaarden zijn dus 0 en (1-a)/b.

Voor jouw voorbeeld hebben we G(t+1)=G(t)+ 0,6·G(t)·(1-0,0005·G(t))=1,6.G(t)-0,0003(G(t))² (rekenfoutje in jou uitleg...). Als we dit gelijkstellen aan a.G(t)+b.(G(t))², dan moeten de coëfficiënten van G(t) en (G(t))² precies overeenkomen. Dus: a=1,6 en b=-0,0003. De mogelijke evenwichtswaarden zijn dan 0 of (1-a)/b=(1-1,6)/(-0.0003)=2000.

Groetjes,
Johan

andros
maandag 25 november 2002

©2001-2024 WisFaq