Cirkels in een gelijkzijdige driehoek

We hebben bij wiskunde B2 een gelijkzijdige driehoek gekregen met daarin eerst 1 cirkel, dan 3, dan 6 etc. Nu is de bedoeling dat we de limiet vinden van de verhouding tussen de oppervlakte van de driehoek en die van de cirkel. Het antwoord moet zijn 2√3/p, hoe bewijs ik dit?
Ik ben er al achter dat de verhouding tussen cirkel 1 en driehoek 1 3√3/p is. Hoe ik echter achter de limiet moet komen is mij een raadsel. Ik hoop dat iemand me hierbij kan helpen.

Marjol
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 31 maart 2008

Antwoord

Beste Marjolein,

Maak eens een tekening met eerst 1, dan 3, dan 6, dan 10 cirkels in een driehoek. Je ziet dat er bij bijvoorbeeld 10 cirkels rijen zijn van 4,3,2 en 1 cirkel.
Noem het aantal cirkels van de langste rij n.
Hoeveel cirkels zijn er dan in totaal?

De halve zijde van de driehoek heeft dan een lengte van (n-1+√3)·r
Zie als hulp om dit aan te tonen de figuur.
Het oppervlak van de driehoek is dan: {(n-1+√3)·r}²·√3
Ga dit zelf na.
Nu kan je een limiet opstellen voor n$\to\infty$

Zou je er nu zelf uit kunnen komen?
Zo niet, laat dan maar weer van je horen.
Groet en succes,
Lieke.

ldr
maandag 31 maart 2008

©2001-2024 WisFaq