Stationaire punten en globale minima en maxima
Ik loop op het moment steeds vast bij 2 zaken die met diffrentieren te maken hebben, we mogen geen rekenmachine gebruiken alles moet uit het hoofd.
Ik denk dat mijn werkwijze fout is, hopelijk kan iemand dat toelichten.
Nu heb ik problemen om snel de volgende functie op te lossen, deze gaat om het lokale en globale mimima en maxima te berekenen:
1. X3-X
2. X4-6x2+5
3. |x-1|
Tot hoever ik kom:
F(x)= X3-X F'= 3X2-1
Dan volgens onze wijze moet je F'(x) op nul stellen en de waardes die daaruit komen invullen in orginele functie waaruit dan de minima en maxima komen. Dat komt hier dan niet uit, het antwoord moet namelijk het volgende zijn:
x= -1/3Ö3 (max) x=1/3Ö3 (min)
2.
X4-6x2+5
f'(x)= 4x3-4x
x= moet 0 1 of -1 zijn, dat is het antwoord, maar hoe weet ik zo wat wat is, welke het minimum is en maximum.
3. weet ik niet hoe ik die moet oplossen.
Buigpunten bepalen is niet zo moeilijk, 2de afgeleiden op 0 stellen. maar stationair punt bepalen kom ik nu weer niet uit.
enkele functies:
1. x3
f'(x)= 3x2
f''(x) = 6x
Buigpunten zijn hier heel duidelijk 0, 2de afgeleide.
Maar stationair punt?
2. x3 - x
f'(x)= 3x2 - 1
f''(x) = 6x
Zelfde als hiervoor duidelijk 0, maar stationair punt?
3 x 5 + 10x2 + 2
f'(x)= 5x4 + 20x
f ''(x) = 20x3 + 20
Buigpunt kan 20*-13+20=0
stationair punt?
Zoals u begrijpt snap ik het gedeeltelijk, maar enkele dingen niet, hopelijk kan iemand die simpel toelichten en kan ik verder.
Alvast bedankt
Jan
Student hbo - zaterdag 29 maart 2008
Antwoord
A) De nulpunten van f'(x) = 3x2 - 1 zijn x = Ö(1/3) en x = -Ö(1/3). Door hiervoor te schrijven x = 1/3Ö(3) resp. x = -1/3Ö(3), lukt het invullen in de 'gewone' functie misschien iets makkelijker. De uitkomsten zijn
±(2Ö(3))/9.
B) De vraag of het een minimum danwel een maximum is, werd 'vroeger' opgelost door van de afgeleide functie een zogeheten tekenschema te maken.
Als je dat doet voor de functie f'(x) = 3x2 - 1, dan ontdek je dat er tussen de twee nulpunten een negatieve waarde uitkomt en links/rechts van de nulpunten een positieve waarde. Logisch natuurlijk, want we hebben het hier over een dalparabool!
Als de afgeleide overgaat van positief naar negatief, dan gaat de 'gewone' grafiek van stijgen over in dalen, en dús is er daar een maximum. Hier dus bij x = -1/3Ö(3).
C) Nulstellen van de afgeleide van je tweede functie levert de vergelijking
x(x2 - 3) = 0 op met als oplossingen x = 0, x = -Ö(3) en x = Ö(3). Als je weer een tekenverloopschema van de afgeleide bepaalt, dan krijg je links van -Ö(3) negatieve waarden, van -Ö(3) tot 0 positieve waarden, van 0 tot Ö(3) weer negatieve waarden en rechts van Ö(3) weer positieve waarden. De grafiek is dus, gezien van links naar rechts, dalend, stijgend, dalend en daarna alleen nog maar stijgend. Om er één extreem uit te halen: bij x = Ö(3) zit een minimum en de waarde ervan is -4.
C) De functie f(x) = |x - 1| ligt wat moeilijker omdat er bij x = 1 geen sprake is van een afgeleide. Links van x = 1 is de afgeleide altijd -1, dus negatief en rechts van x = 1 altijd 1, dus positief.
De afgeleide wisselt bij x = 1 van teken en dús is er een minimum. De waarde is gelijk aan 0. Als je de grafiek even plot, zie je dat er sprake is van twee halve lijnen die elkaar in (1,0) in een knik ontmoeten.
De strekking van dit soort functies is dat er best sprake van een minimum kan zijn terwijl de afgeleide niet eens bestaat.
D) Ik weet niet zeker welke definitie je hanteert van een stationair punt. Als het een punt is waar de afgeleide gelijk wordt aan 0, dan heb je het dus eigenlijk over alle punten waar de raaklijn horizontaal komt te liggen. Je maakt dan geen verschil tussen (sommige) buigpunten en echte toppen. Als je met een stationair punt een punt bedoelt waar sprake is van een top, dus niet van een buigpunt, dan moet je dus uitzoeken of er wel of niet sprake is van een buigpunt. Voor een buigpunt stel je inderdaad je tweede afgeleide gelijk aan 0, maar je eerste afgeleide moet van teken wisselen.
Kijk eens of je nu verder komt. Ik zou in elk geval steeds even de grafiek plotten zodat je ziet wat er eigenlijk aan de hand is. Mocht er nog meer onduidelijk zijn, dan hoor ik het wel.
MBL
zaterdag 29 maart 2008
©2001-2024 WisFaq
|