Bewijzen van limiet met behulp van formele definitie

Als ik wil bewijzen dat lim voor x-1 van (x² + 3) = 4, dan doe ik dat op de volgende manier:

Als 0|x-1|d dan |(x² + 3) - 4|= |x² - 1| = |x + 1||x-1|e=d|x+1|. |x+1| is gedefinieerd voor alle x uit R, dus wat is er mis met zo'n kort bewijs? (Bovendien is |x+1| niet gelijk aan 0 vlakbij x=1). In de boeken wordt namelijk eerst aangenomen dat d is kleiner dan of gelijk aan 1, om het vervolgens heel ingewikkeld te maken.

Roel
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 25 maart 2008

Antwoord

Beste Roel,

Je moet kunnen aantonen dat je |(x²+3)-4| = |x²-1| kleiner kan krijgen dan eender welke opgelegde e0. Dit doe je door voor elke e0, een d0 te geven met |x-1|d, zodat de gevraagde afschatting geldt.

Door te ontbinden heb je |x²-1| = |x-1||x+1| waarbij je |x-1| al kan afschatten door d. Nu moet je |x+1| dus nog kunnen afschatten. Je weet dat |x-1|d, dus x1+d of x+12+d. Je taak is om d te geven, je kan op dit moment bijvoorbeeld delta zeker kleiner dan 1 nemen, dan is x+13.

Dan volgt: |x-1||x+1| 3d. Omdat je dit kleiner wil dan eender welke epsilon, neem je d = e/3. Onderweg hadden we ook al d1 genomen, zodat we zeker voldoen indien we d = min{1,e/3} nemen.

Voor een ander uitgewerk voorbeeld kan je hier kijken.

mvg,
Tom

dinsdag 25 maart 2008

Re: Bewijzen van limiet met behulp van formele definitie

©2001-2024 WisFaq