Minimale oppervlakte afgeknotte bol

Ik zou graag willen weten hoe ik de minimale oppervlakte van een afgeknotte bol kan berekenen. Gegeven is dat de inhoud 1 liter is.
Ik ben er al achter dat de inhoud van het afgesneden stuk ¹/₃ph²(3r-h), waarbij r de straal van de hele bol is en h de hoogte van het afgesneden stuk.
Hieruit zou je r als functie van h kunnen schrijven (of andersom), maar dit lukt niet;
(⁴/₃pr³)-(¹/₃ph²(3r-h))=1
Hieruit volgt (4r³/h²)-3r+h=1/p/h².
Verder kom ik (nog) niet.
Zouden jullie me hier misschien mee kunnen helpen?
(Een andere manier is ook goed!)

Alvast bedankt!

AdC
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 10 maart 2008

Antwoord

Hoi,

Ik vermoed dat je die afgeknotte bol zonder 'deksel' ziet, dus dat de afgeknotte bovenkant niet meetelt in de oppervlakteberekening? In dat geval los je dit op als een typisch extremumvraagstuk:

Kijk welke grootheid je moet minimaliseren. Hier is dat de oppervlakte van een bolkap, de formule daarvoor is
S=2prh met r de straal van de bol, en met h de hoogte van de bolkap. Jij koos ervoor om te werken met als variabele h de hoogte van het afgesneden stuk, dat zou ik niet doen. De reden heb je zelf gemerkt: de formules worden ingewikkelder (zowel oppervlakte als volume worden een verschil van twee stukken) en je kan niet meer zo eenvoudig één van de variabelen uitdrukken in functie van de andere. Als je voor h de hoogte van de nog aanwezige bolkap neemt, dan heb je dus S=2prh en het volume wordt dan:
V=ph²(r-h/3)

Merk op dat je meestal gewend bent om de oppervlakte- en volumeformules voor de bolkap te gebruiken voor hr, maar ze gelden net zo goed voor rh2r, dus voor bolkappen die uit meer dan de helft van de bol bestaan...

Allicht kan je dan wel verder: uit het gegeven dat het volume gelijk is aan 1 haal je makkelijk r in functie van h, dat vul je in in je S-formule die op die manier nog enkel van h afhangt, dat leid je af, die afgeleide stel je gelijk aan nul en je lost op. Ik kwam uit op:
h=(³/_2p)^(1/3)=0,782
r=h
S=(18p)^(1/3)=3,838
V=1 (controle)
r=h betekent dus dat een halve bol optimaal is...

Groeten,
Christophe.

Christophe
dinsdag 11 maart 2008

©2001-2024 WisFaq