Discreet en Borelverzameling

In mijn syllabus staat de definitie voor een discrete kansverdeling gebruikmakend van "Borelverzamelingen" waarvan ik weinig snap. Kunt u uitleggen wat met onderstaande bedoeld wordt en waarom Px(S)=P(XÎS)=1 ?

"Men noemt X en Px discreet als er een eindige of aftelbare deelverzameling S van is zó dat Px(S)=P(XÎS)=1
Dan gelden:
1) Px(B)=åP(X=y), yÎBÇS en BÎ"Collectie van Borelverzamelingen van "
2) Fx(x)=åP(X=y), yx, yÎS en xÎ

Arne
Student universiteit - zondag 2 maart 2008

Antwoord

Het `waarom' staat in de definitie van discreet: we noemen een kansverdeling discreet als er zo'n S bestaat. Bij de behandeling van 1) en 2) kun (moet) je dat gegeven gebruiken.
In de definitie van kansverdeling/kansmaat staat dat de functie P(X in B), als functie van B, aftelbaar additief moet zijn; verder wordt zo'n kans vaak gegeven door de verdelingsfunctie: F(x)=P(Xx), en dit is ook P(X in (-oneindig,x]). Die twee dingen samen impliceren dat de familie van alle gebeurtenissen (alle B waarvoor P(x in B) betekenis heeft) in ieder geval de intervallen van de vorm (-oneindig,x] moet bevatten, met elke B ook zijn complement en voor elke rij gebeurtenissen ook hun vereniging. De kleinste familie verzamelingen met deze eigenschap is, per definitie, de familie van alle Borelverzamelingen.
Wat 1) en 2) betreft: uit de aanname over S volgt dat voor elke gebeurtenis B geldt dat P(X in B) = P( X in B doorsnede S) (omdat P(X niet in S)=0). Omdat de doorsnede van B en S gelijk is aan de vereniging van de éénpuntsverzamelingen {x} (met x in B door S) volgt P(X in B) = som(P(X in {x}), x in B door S) en P(X in {x}) is natuurlijk gewoon P(X=x); 2) is een speciaal geval van 1).

kphart
maandag 3 maart 2008

©2001-2024 WisFaq