Inhoud van een omwentelingslichaam

Beste mensen van Wisfaq,

Zouden jullie me kunnen helpen met de volgende twee vragen:

Men wentelt de grafiek van de functie f(x) = sin (x) met 0$\leq$x$\leq\pi$ rond de x-as. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam.

Wat ik heb gedaan is de volgende formule toegepast:
Inhoud (K) = $\int{}$ $\pi$ f(y)² dy

$\int{}$ van 0 tot $\pi$ is $\pi$(sin(x))² dy
F(x) = -cos (x)
$\int{}$ van 0 tot $\pi$ is $\pi$·-cos (x) dy
F(0) = -1 · $\pi$
F($\pi$) = $\pi$ · 1 = $\pi$
$\int{}$ van 0 tot $\pi$ is F($\pi$) - F(0) = $\pi$- -$\pi$ = 2$\pi$

Het antwoordenboekje geeft echter $\pi$²/2 als antwoord...
Wat doe ik fout?

De andere vraag is: doe hetzelfde met de functie f(x) = e^-x, met 0$\leq$x$\leq\infty$.

Ik heb gedaan:
$\int{}$ van 0 tot $\infty$ is $\pi$(e^-x)² dy
F(x) = -e^-x
F($\infty$) = -3^(-1000) · $\pi$ = 0
F(0) = -e^(-0) · $\pi$ = -$\pi$
Dus $\int{}$van 0 tot $\infty$ is F($\infty$)-F(0) = 0--$\pi$ = $\pi$.

Het antwoordenboekje geeft echter $\pi$/2.

Maak ik hier dezelfde fout als hierboven?

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen!

Met vriendelijke groeten,
Birgit

Birgit
Student universiteit - vrijdag 25 januari 2008

Antwoord

Vraag 1)
Je wilt berekenen: $\pi\int{}$₀^$\pi$(sin(x))²dx.
Nu stel je dat een primitieve van f(x)=sin²(x) is -cos(x).
Waar is dat kwadraat ineens gebleven? Doe je daar niks mee?
Omdat cos(2x)=1-2sin²(x) geldt sin²x=¹/₂-¹/₂cos(2x).
Dus een primitieve van sin²x is gelijk aan ¹/₂x-¹/₄sin(2x)

Vraag 2)
Je zoekt een primitieve van (e^-x)²
Je vergeet weer iets te doen met dat kwadraat.
(e^-x)²=e^-2x
Dus een primitieve is -¹/₂e^-2x

vrijdag 25 januari 2008

©2001-2024 WisFaq