Derdegraads vergelijking oplossen

'k Heb alweer een vraagje: ik kom bij dez vergelijking niet uit.
waarom???? wat doe ik fout????
x³-x=-0.375 (x³+ax=b)
a=3uv, b=v³-u³
x³-3uv x=v³-u³ (x+u=v)
3uv=1
v³-u³=-0.375
3uv=1 dus, u=1:3v
u=1:3v invullen in v³-u³:
v³-(1:3v)³=-0.375
v³+1:3v³=-0.375
vermenigvuldigen met v³:

(v³)²-(1:3)=-0.375v³
(v³)+0.375v³-(1:3)=0

v³ opschrijven als y:
y²+0.375y-(1:3)=0

abc formule toepassen:

y=-0.375±(wortel)0.375²-4×1×-(1:3)
2×1

y=-0.375±1.214066857
2

(y kan alleen positief zijn omdat y =v³ en v is een zijde en een lengte van een zijde kan nooit negatief zijn.)
y=-0.375+1.214066857
2

y=0.4195334285
y=v³
dus v = ³(wortel) 0.4195334285
v=0.7486098269
3×u×v=1
3×u×0.7486098269=1 (1:3v=u)
1:(3×0.7486098269)=u
1:2.245829481 =u=0.4452697805

x+u=v
x+0.4452697805= 0.7486098269 (v-u=x)
0.7486098269-0.4452697805=x
x=0.3033400464

controle:
x³-x moet zijn -0.375
x invullen:
0.3033400464³-0.3033400464=........

alvast bedankt
groetjes laia

laia
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 15 november 2002

Antwoord

Hoi,

Even voor de duidelijkheid:
Je wil vergelijkingen van de vorm x³+ax=b oplossen (met a en b niet 0). Je stelt x=v-u en vindt na herleiden dat je oplossingen zoekt van (u-v).(3uv-a)+(v³-u³-b)=0. Voor waarden van u en v waarvoor 3uv=a en v³-u³=b is hieraan voldaan.

Je maakt een paar rekenfouten in het begin:
We hebben x³-x=-0.375. Gelijkstellen met x3+ax=b levert: a=-1 en b=-0.375. Dus: v³-u³=-0.375 en 3uv=-1.
Wat verder schrijf je ook dat (1/3v)³=1/3v³. Dit moet worden: 1/27v³.

Ik begrijp ook niet waarom je zegt dat v een lengte zou moeten zijn. Als dit een voorwaarde is die voor x geldt, dan mag je die negatieve waarden niet zomaar uitsluiten.

Nu raak je er wel.

Je kan ook bedenken dat 0.375=3/8 en dat je dus eigenlijk 8x³-8x+3=0 wil oplossen. Met y=2x is dit: y³-4y+3=0. Je ziet onmiddellijk dat y=1 of x=1/2 een oplossing is. Wanneer je 8x³-8x+3 deelt door x-1/2 krijg je een tweedegraadsveelterm waarvan je met de abc-formule de 0-punten kan zoeken. De wortels zijn ongeveer 0.50000, 0.65139 en -1.15139. Dit lijkt me eenvoudiger dan deze Cardano-achtige aanpak…

Groetjes,
Johan

andros
maandag 18 november 2002

©2001-2024 WisFaq