Een getal omdraaien en aftrekken van het oorspronkelijk getal

Beste Wisfaq,

Wanneer men een getal omdraait en vervolgens aftrekt van het oorsponkelijk getal, bekomt men steeds een negenvoud. (vele leuke 'trucjes' zijn daar trouwens op gebaseerd)
Het algemeen bewijs daarvan voor een getal met een gekend aantal cijfers, is me al reeds gelukt (men moet de som maken van de cijfers vermenigvuldigd met een macht van tien, al naargelang hun plaats: tientallen, honderdtallen,.. en vervolgens afzonderen enz.) , maar ik had graag het bewijs gehad dat het ook geldig is voor een getal met een willekeurig aantal cijfers.
Alvast bedankt voor het lezen van mijn vraag en de tijd die u eraan besteed.

Met Vriendelijke Groeten,
Médéric Commeine

Médéri
3de graad ASO - dinsdag 8 januari 2008

Antwoord

Dag Médéric,

Een handige eigenschap in dat verband, is dat de som der cijfers van een getal, gelijk is aan zijn rest bij deling door 9.
Voorbeeld: 3749 - 23 - 5. Als je dus van een getal de cijfervolgorde wijzigt, dan wijzig je niet de som der cijfers, dus je wijzigt niet de rest bij deling door 9. Stel dat je oorspronkelijk getal (x) rest a heeft bij deling door 9 (x=9k+a), dan heeft je omgekeerde getal, x', ook rest a (x'=9m+a), en geldt er dat x-x'=(9k+a)-(9m+a)=9(k-m) is een negenvoud.

Dat die eigenschap (som der cijfers=rest) geldt, kan je vrij eenvoudig per inductie bewijzen, immers: als je bij een getal 1 optelt, dan gaat de som der cijfers ofwel ook plus 1, ofwel min acht, of min zeventien, of..., wat qua rest bij deling door 9 hetzelfde betekent... Of een ander bewijs: schrijf bijvoorbeeld het getal abcd als 1000a+100b+10c+d, de rest bij deling door 9 blijft hetzelfde als ik daar een 9-voud van aftrek, dus ik trek er 999a+99b+9c vanaf, dan blijft er over: a+b+c+d. En die truc werkt natuurlijk bij willekeurige getallen van minstens twee cijfers.

Groeten,
Christophe.

Christophe
dinsdag 8 januari 2008

©2001-2024 WisFaq