Lineaire differentiaalvergelijking

Ik heb het volgende beginwaarde probleem:

y'' + 9y + 20 = 0
y(0) = 1 en y'(0) = 1

Nu weet ik dat ik drie algemene functies heb die afhankelijk van de discriminant van de volgende functie gekozen moeten worden:

ay'' + by' + cy = 0

Alleen zit ik met een dillema, ik kan hierbij de + 20 term wel negeren en krijg dan een heel mooi antwoord, alleen ben ik er bang voor dat dit niet goed is. Hoe beinvloed de + 20 term de discriminant of is het toch goed om deze te negeren en waarom dan?

Martin
Student universiteit - woensdag 12 december 2007

Antwoord

Misschien kan je deze opgave wel:
y"+9y=-20.

Dan is dit een niet-homogene differentiaalvergelijking. Niet-homogeen want in het rechterlid staat niet nul, maar iets wat een functie is van x. (nu is dat toevallig een constante). Die los je op in twee stappen:
- Bepaal de oplossingen van de homogene vergelijking y"+9y=0, dat geeft je y=Acos(3x)+Bsin(3x)
- Zoek een particuliere oplossing die dezelfde vorm heeft als je rechterlid. Hier is je rechterlid een constante, dus probeer eens y=C. Dan y'=y"=0 en er staat nog 9C=-20.

De oplossingenverzameling wordt dan gegeven door de som van beide, dus hier wordt dat Acos(3x)+Bsin(3x)-20/9.

Dankzij de beginvoorwaarden kan je dan nog A en B bepalen, komt uit op A=29/9 en B=1/3 als ik me niet vergis, dus de oplossing wordt
y = 29/9 cos(3x) + 1/3 sin(3x) - 20/9.

Groeten,
Christophe.

Christophe
woensdag 12 december 2007

©2001-2024 WisFaq