Re: Taylor benadering van bepaalde integraal

Dit is een reactie op vraag 53439

Ik hoop het?

Iets als: een extra functie F(x) = Sinh(x³), waarna ik vervolgens stel:
f(x) = F(x) - F(0).
en f'(x) = F'(x) - F'(0) enz.

Probleem dat ik dan krijg is dat tot en met de 3e afgeleide er steeds 0 uitkomt, waarna 0 - 0 = 0, terwijl bij de 4e afgeleide komt er 6 · cosh(0) (plus een heleboel termen met een factor x waar dus sowieso 0 uitkomt bij een benadering in het punt 0) uit, maw 6 - 6 = 0. Dus dan vallen alle termen weg.

Is wel logisch als je naar de mijn F(x) - F(0) kijkt als je bedenkt dat je een benadering doet in het punt 0 waarbij X dus 0 is. Dus ergens gaat er nog iets fout.

Egbert
Student universiteit - zondag 9 december 2007

Antwoord

Waarom zou f(x) = F(x) - F(0)? Waar is dan het integrerende aspect naar toe? Vervolgens leid je af, maar waarom wordt F(0) dan F'(0)? De afgeleide van een constante is 0. Een soepje ;-)

1) Wat ik in gedachten had was: je begint met de reeks voor sinh(t)=t+t³/3+..., waar je de reeks voor sinh(t³) uit haalt

sinh(t³)=t³+t⁹/3+...

Termsgewijs integreren levert

f(x) = x⁴/4 + x¹⁰/30 + ...

2) Jouw poging geeft nog een wat andere manier, die eigenlijk veel bewerkelijker is, omdat je in één stap een Taylorbenadering probeert te maken (dus zonder terug te vallen op eenvoudigere Taylorbenaderingen zoals in punt 1)

Als f(x) = integraal(g(t),t=0..x), dan is df/dx = g(x). Zo zou je dus kunnen stellen dat als

f(x) = f(0) + xf'(0) + x²/2 f"(0) + ...

dat dan

f(x) = 0 + xg(0) + x²/2 g'(0) + ...

Je zou hetzelfde moeten bekomen, maar ik opteer toch voor de eerste mogelijkheid.

zondag 9 december 2007

©2001-2024 WisFaq