Convergente reeks

Beste wisfaq,

Gegeven dat lim (n- oneindig) a_n = a bewijs of geef een tegenvoorbeeld voor de volgende stelling:

als s_n = 1/n (a₁ + a₂ + ... + a_n) dan s_n - a als n- ondeindig.

Het probleem is het volgende. Als ik schrijf:

s_n = (a₁/n) + (a₂/n) + ... + (a_n/n) dan gaat s_n naar 0 als n- oneindig (en dus niet per se naar a).

Echter deze formule is als het ware de formule voor het gemiddelde. En dus s_n = na/n = a ...

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen.

Pieter

pieter
Student universiteit - zondag 2 december 2007

Antwoord

In je "afleiding" dat s_n naar nul zou gaan verlies je uit het oog dat het aantal termen ook van n afhangt. De gezamenlijke teller is dus ook een functie van n, zodat je uit de n in de noemer geen conclusies kan trekken

In het volgende bewijs veronderstel ik de limietwaarde a=0 om de notatie niet nodeloos te verzwaren. De rij {a_n} gaat dus naar 0 en we moeten bewijzen dat dat ook voor {s_n} geldt.

Die vraag is per definitie dezelfde als:

"Kan ik |s_n| willekeurig klein (kleiner dan, stel, e_s) krijgen door n voldoende groot (groter dan, stel, N_s) te nemen?"

Wel, er geldt dat

|s_n| = |a₁+...+a_n| / n (1/n)(|a₁|+...+|a_n|)

Kies nu eerst een (voorlopig) willekeurige e_a. Door het bestaan van de limiet van de rij {a_n} weten we dat vanaf een of ander rangnummer N_a geldt dat |a_n|e_a. Als we veronderstellen dat n al minstens groter is dan N_a, kunnen we bovenstaande som opsplitsen en stellen dat

|s_n| (1/n)(|a₁|+...+|a_Na|+(n-N_a)e_a)

of, de eerste N_a termen groeperend in X(N_a)

|s_n| (1/n)(X(N_a)+(n-N_a)e_a)

Als we het rechterlid kleiner kunnen krijgen dan e_s dan zal ook |s_n| dat zijn. Wel, de ongelijkheid

(1/n)(X(N_a)+(n-N_a)e_a) e_s

wordt na wat herwerken

n (X(N_a) - N_ae_a) / (e_s - e_a)

als we tenminste e_a kleiner nemen dan e_s (waarom is dit logisch?).

Samenvattend: Als iemand met een e_s komt aandraven waar jij een passende N_s voor moet vinden, dan kies je een e_ae_s (maar verder naar keuze) en bepaal je daar de bijbehorende N_a bij (die bestaat wegens het bestaan van de limiet). Een mogelijke N_s wordt dan gegeven door

N_s = max(N_a, (X(N_a) - N_ae_a) / (e_s - e_a))

PS: Dit is een topic waar je (te) snel van kan denken dat je het begrijpt. Neem dus alles goed door en probeer in te zien waar de cruciale punten liggen in de redenering.

zondag 2 december 2007

©2001-2024 WisFaq