Het duizendste getal

Wat is het duizendste getal in deze rij?
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, ...
Dank bij voorbaat.

Dingen
2de graad ASO - zaterdag 17 november 2007

Antwoord

de laatste 1 staat op plaats 1
de laatste 2 staat op plaats (1+2)=3
de laatste 3 staat op plaats (1+2+3)=6
de laatste 4 staat op plaats (1+2+3+4)=10

Herken je de somrij 1+2+3+4+....+n?
Weet je ook een formule voor deze somrij?

Wel nadat je alle 9 negens hebt opgschreven heb je in totaal 45 cijfers opgeschreven. (ga maar na).

Nu komt het probleem dat je vanaf nu telkens twee cijfers opschrijft voor elk getal.
Je schijft dus tien maal 10, dat zijn 20 cijfers.
elf maal 11 dat zijn 22 cijfers, enzovoort.
Voor de tweecijferige getallen moet je dus optellen:
20+22+24+....+2n=2(10+11+12+...+n).
De som hiervan is 2*1/2*(10+n)(n-9).
Na alle getallen n is dus het totaal aantal opgeschreven cijfers dus 45+(10+n)(n-9).
Je kunt nu oplosen: 45+(10+n)(n-9)=1000.
Als je deze vierkantsvergelijking oplost vind je n=31.8
Dus het duizenste cijfer wordt neergeschreven tijdens het opschrijven van de twee en dertig 32's.
Blijft nog even de vraag of het 1000ste cijfer een 2 of een drie is.
Wel na het opschrijven van de negens was je tot en met plaats 45 gevorderd. Dus op de even plaatsen komen de tientallen en op de oneven plaatsen de eenheden.
Dus het antwoord is: het duizenste cijfer is een 3.

zaterdag 17 november 2007

©2001-2024 WisFaq