Parameter in functievoorschrift: extrema, buigpunten

hoi wisfaq

gegeven is de parameter: Fp(x)= px⁴ -2x²+8p
1. voor welke waarden van p raakt de grafiek de x-as?

ik heb het geprobeerd door x²=B te stellen en pB²-2B+8p op te lossen. dat kon ik alleen niet uitwerken.
het antwoordenboek maakt ook gebruik van de afgeleide functie (waarom?) en krijgt daardoor een x-waarde /x²-waarde. hieruit volgt dan weer een waarde voor p, en die vullen ze weer in in Fp(x):
Fp(x): px⁴ -2x²+8p=0
Fp'(x): 4px³-4x=0
4px³-4x=0 geeft: x=0 of x²=1/p
x=0 invullen in Fp(x) geeft p=0
x²=1/p invullen in Fp(x) geeft (1/p)-(2/p)+8p=0 $\to$ p=±√¹/₈

waarom doen ze dit, via de afgeleide?
hoezo is (1/p)-(2/p)+8p=0 gelijk aan p=±√¹/₈

2.Voor welke waarden van p liggen de buigpunten van de grafiek van Fp op de x-as?

hier beh ik de 2e afgeleide gemaakt en gelijk gesteld aan 0:
12px²-4=0 geeft x=±√(¹/₃p)
ik weet alleen niet hoe ik vanaf daar verder moet.

alvast bedankt,
Kate

Kate
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 31 oktober 2007

Antwoord

Dag Kate,

Je eerste vraag: als de grafiek moet raken aan de x-as, dan moet in dat raakpunt
· de afgeleide functie F_p'(x) nul zijn (want je wil een horizontale raaklijn, dus een raaklijn met richtingscoëfficiënt nul)
· de functie F_p(x) zelf ook nul zijn, want je raakpunt moet op de x-as liggen (anders kan die x-as nooit een raaklijn zijn).

Vandaar dat je het stelsel moet oplossen bestaande uit F_p'(x)=0 en F_p(x)=0. Uit de eerste vergelijking haal je idd dat x=0 of x=√(1/p) of x=-√(1/p). Het is een stelsel, dus vul dit telkens in in de tweede vergelijking:
x=0 invullen in px⁴ -2x²+8p=0 geeft 8p=0 dus p=0
x=√(1/p) (dus x²=1/p en x⁴=1/p²) invullen in px⁴ -2x²+8p=0 geeft p/p²-2·1/p+8p=0 dus 1/p-2/p+8p=0 dus -1/p+8p=0 dus -1+8p²=0 dus p²=1/8 dus p=±1/√8.
Hetzelfde resultaat bij x=-√(1/p).

Conclusie:
· als p=0 is de x-as een raaklijn in het punt x=0;
· als p=1/√8 dan is de x-as een raaklijn in het punt
x=√(1/p)=√(1/(1/√8))=√√8
en in het punt
x=-√(1/p)=-√(1/(1/√8))=-√√8.
· als p=-1/√8 dan is de x-as een raaklijn in het punt
x=√(1/p)=√(1/(-1/√8))=√(-√8)
en in het punt
x=-√(1/p)=-√(1/(-1/√8))=-√(-√8). Echter voor beide x-waarden moeten we de wortel nemen uit een negatief getal, dat doen we niet, dus de resultaten voor p=-1/√8 vervallen.

Je tweede vraag: eigenlijk hetzelfde principe: je wil in een punt x een buigpunt hebben (dus inderdaad F_p'(x)=0) EN je wil dat dit punt op de x-as ligt, dus y-waarde of functiewaarde nul heeft, dus F_p(x)=0. Je hebt dus weer een stelsel van twee vergelijkingen, je hebt al correct uit de eerste vergelijking x opgelost in functie van p, vul dit nu in in je tweede vergelijking F_p(x)=0 en los dit op naar p. Als je dat hebt, vul opnieuw in in je verband tussen x en p, zodat je weet welke x-waarden er bijhoren. En je zal weer zien: als je een negatieve p uitkomt, dan geeft dit problemen om x te bepalen (weer met die wortel), dus die uitkomsten zal je moeten uitsluiten. Let wel op, het juiste verband tussen p en x is:
x=±√(1/(3p))
dus de p staat mee in de noemer, onder die wortel...

NB: het idee om x²=B te stellen is op zich wel goed want het rekent makkelijker. Voor de eerste vraag zou het nog werken ook, want als je de grafiek zou tekenen in het (B,y)-vlak ipv het (x,y)-vlak, zou je enkel een horizontale vervorming krijgen. Dat heeft dus geen invloed op de ligging van de raaklijnen. Probeer maar eens dezelfde techniek toe te passen op jouw tweedegraadsfunctie, het zal werken. Echter de tweede vraag gaat over buigpunten, nu zal je wel zien dat als je de grafiek horizontaal vervormt (de substitutie x²=B zorgt voor een ongelijkmatige uitrekking of inkrimping), dit ook de vorm van de grafiek en dus de positie van de buigpunten beïnvloedt.

Groeten,
Christophe.

Christophe
woensdag 31 oktober 2007

©2001-2024 WisFaq