Re: De fundamentele oplossing van een PDE

Dit is een reactie op vraag 52673

Hallo Christophe, leuk om je weer bij wisfaq tegen te komen!

De fundamentele oplossing voor de warmtevergelijking is voor t0:

F(x,t)=1/[(4*pi*t)^(n/2)]*e^[-|x|^2/(4t)]

en F=0 Voor t0.

In de opgave staat:
Differentieer v(x^2/t) naar x, en kies de constante c, op deze manier krijg je dan de fundamentele oplossing F voor n=1.

Dus we hebben nu v_x(x,t)=2c/(t^(1/2))*e^(-x^2/4t)

En F voor n=1 is gelijk aan,

F(x,t)=1/[2*(pi*t)^(1/2)]*e^[-|x|^2/(4t)]

Maar ik begrijp eigenlijk niet goed wat de volgende stap is.Hoe kom ik van v_x tot F?

Ik heb nog een vraag over het bewijs van a.Het bewijs van links naar rechts is gelukt maar niet van rechts naar links.Ik begrijp niet goed hoe je van v'' naar v_xx moet komen en van v' naar v_x of v_t.

Groetjes,

Viky

viky
Student hbo - maandag 29 oktober 2007

Antwoord

Haja, nu zie ik het... Ja, je kan opmerken dat die F(x,t) voor n=1 op een constante na hetzelfde is als je u_x(x,t). Dus voor welke c geldt dat
2c/(t^(1/2))*e^(-x^2/4t) = 1/[2*(pi*t)^(1/2)]*e^[-|x|^2/(4t)]
Die e-macht is hetzelfde links en rechts, ook die t^(1/2) in de noemer staat links en rechts, dus als ik die schrap blijft er enkel over:
2c=1/(2*p)^(1/2)
dus c=1/(2Ö(2p)).

En je tweede vraag: als je vertrekt met het rechterlid van a:
4z*v''(z)+(2+z)*v'(z)=0
met v(z)=u(x,t) als z=x²/t. (ik heb van je y een z gemaakt omdat die toch dezelfde rol spelen, dezelfde betekenis hebben)
Daarin moet je dus de kettingregel toepassen:
v'(z) = dv/dz
= du(x,t)/dz
= du/dx * dx/dz + du/dt * dt/dz (dit is dus de kettingregel toegepast)
= u_x / (dz/dx) + u_t / (dz/dt)
= u_x / (2x/t) + u_t / (-x²/t²)
= t u_x / (2x) - t² u_t / x²

v"(z) = d/dz (dv/dz)
= d/dz (tu_x/(2x)-t²u_t/x²)
= d/dx (tu_x/(2x)-t²u_t/x²) * dx/dz + d/dt (tu_x/(2x)-t²u_t/x²) * dt/dz
= d/dx (tu_x/(2x)-t²u_t/x²) / (dz/dx) + d/dt (tu_x/(2x)-t²u_t/x²) / (dz/dt)
= (d/dx(tu_x/(2x)) - d/dx(t²u_t/x²)) / (2x/t) + (d/dt(tu_x/(2x)) - d/dt(t²u_t/x²)) / (-x²/t²)
= (t(2xu_(xx)-2u_x)/(4x²)-t²(x²u_(tx)-2xu_t)/(x⁴))*(t/(2x))
+ ((u_x+tu_(xt))/(2x)-((2tu_t+t²u_(tt))/x²)*(-t²/x²)

Werk nog even verder uit, schrijf je gegeven gelijkheid op waarin je natuurlijk z vervangt door x²/t, v'(z) vervangt door de hierboven bekomen uitdrukking en v"(z) ook, je weet dat 4z*v''(z)+(2+z)*v'(z)=0, schrijf uit en hopelijk vallen dan de termen met u_x en u_tt en u_tx allemaal weg en hou je enkel nog over u_xx=u_t.

Ik heb het zelf niet helemaal uitgerekend maar het klopt wel in de andere richting (die rekent idd iets makkelijker) dus als ik geen typfouten heb gemaakt zou het wel moeten uitkomen...

Groetjes
Christophe.

Christophe
dinsdag 30 oktober 2007

©2001-2024 WisFaq