Vlak door 3 punten bepalen

Hallo Wisfaq,
Een vlak gaat door 3 punten A(2,3,4); B(-3,-4,1) en C(-1,-2,-4).

• Hoe bereken ik dit vlak $\alpha$ nu ook alweer? Het is zolang gelden en ik weet het echt niet meer hoe eraan te beginnen...

Vriendelijke groeten

Rik Le
Ouder - donderdag 25 oktober 2007

Antwoord

Dag Rik,

Wil je een parametervergelijking, dat gaat het snelste, en wel als volgt:

(x,y,z)=(2,3,4)+r·(5,7,3)+s·(3,5,8)

Hierbij is die (2,3,4) één van de drie punten (maakt niet uit welke je kiest); de twee andere drietallen zijn telkens richtingsvectoren (dus het verschil tussen twee punten, ik heb respectievelijk A-B en A-C gekozen, maar ook bv B-A en C-B is even goed)

Wil je een cartesische vergelijking, dan kan je dat doen door te vertrekken van die parametervergelijking, dat uit te schrijven als drie vergelijkingen (dus x=2+5r+3s, y=..., z=...), uit de eerste vergelijking haal je r=... (hangt af van x en s), dat vul je in in de twee andere vergelijkingen, dan haal je s uit de tweede vergelijking (hangt dan af van y en x), en dat vul je dan in in de derde vergelijking, zodat je krijgt z= iets dat afhangt van x en y.

Een andere manier is om de normaalvector van het vlak te berekenen, die bekom je door het vectorproduct te nemen van twee richtingsvectoren. Twee zulke richtingsvectoren zijn (zie parametervergelijking) (5,7,3) en (3,5,8). Het vectorproduct hiervan is (41,-31,4). Dat leert je dat het vlak de vergelijking heeft 41x-31y+4z=d waarbij d nog te bepalen is. Kies dan één punt dat op je vlak ligt (bv A), vul de coördinaten in, je krijgt d=41·2-31·3+4·4=5. Dus de vergelijking is 41x-31y+4z=5. Controleer of B en C er ook op liggen, en jawel hoor .

Herinner je dat je het vectorproduct van twee drietallen bekomt door de determinant uit te rekenen met op de tweede en derde rij je twee drietallen, en op de eerste rij de drie eenheidsvectoren...

Groeten,
Christophe.

Christophe
donderdag 25 oktober 2007

Re: Vlak door 3 punten bepalen

©2001-2024 WisFaq