Formule van een raaklijn

Gegeven is de formule y=3^x-6.
De grafiek snijdt de x-as in het punt A en de y-as in het punt B.
a. De lijn k raakt de grafiek in het punt B. Stel de formule op van k.
b. De lijn l raakt de grafiek in A. Stel de formule op van l.

P.S. Ik snap niet hoe je de formule moet vaststellen van een lijn uit een andere formule. Er was nog z'on vraag en daar stond de formule y=0,33x³+0,5^x2-2x+3. En dan vroegen ze; de lijn k raakt de grafiek in het punt A met x_A=2. Stel de formule van k. Deze snap ik ook niet.

Mandy
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 8 november 2002

Antwoord

Eerst maar de coordinaten van punt A bepalen:
A is het snijpunt met de x-as, ofwel y = 0
Dit geeft dus:
0=3^x-6
6=3^x
ln(6)/ln(3)=x
Ofwel punt A heeft als coordinaten x=ln(6)/ln(3) en y=0

Voor punt B:
B is het snijpunt met de y-as ofwel x=0
Dit geeft dus:
y=3⁰-6
y=1-6
y=-5
Ofwel punt B heeft als coordinaten x=0 en y=-5

Nu de opgave a.
Ik neem aan dat je met 'de lijn' bedoeld een 'rechte lijn'. De algemene vorm van een vergelijking van een rechte lijn is: y = ax + b
Deze moet dus door het punt [ln(6)/ln(3);0] gaan. Invullen geeft:
0 = a·ln(6)/ln(3) + b, ofwel:
b = -a·ln(6)/ln(3)
En dus iedere lijn geeft met de vergelijking:
y = ax - a·ln(6)/ln(3)
Voor iedere waarde van a, gaat door punt A

Hetzelfde kan je doen voor opgave b.

De vraag is echter dat het de raaklijn moet zijn, dan moet de richting van de lijn gelijk zijn als die op dat moment tevens is bij het punt A (of B). Hiervoor is de afgeleide nodig:
y=3^x-6
y'=ln(3)·3^x
Deze vergelijking geeft dus de steilheid aan van de grafiek in ieder punt. Bij de rechte lijn is dit de 'a'.

En dus in het punt A geeft dit:
y'=ln(3)·3^ln(6)/ln(3)
y'=6·ln(3)

Ofwel a=6·ln(3)
En dus:
y = 6·ln(3)·x - 6·ln(3)·ln(6)/ln(3)
y = 6·ln(3)·x - 6·ln(6)

M.v.g.

zaterdag 9 november 2002

©2001-2024 WisFaq