Limiet bestaat niet?

Beste wisfaq,

Ik zit met de volgende vraag:

Geclaimd wordt dat lim_(n-oneindig) [cos(1/n)-1]/(1/n) = 0 / 0 en dat daarom de limiet niet bestaat.

Als check wordt gegeven;
we weten dat 1/n -- 0 en dat cos(1/n) -- 0 als n -- oneindig en daarom [cos(1/n)-1]/(1/n)-- 0/0
Aangezien 0/0 niet gedefinieerd is bestaat de limiet niet.

Gevraagd wordt nu om de fout in de beredenering hierboven te geven.

Mijn probleem is dat ik wel snap dat het bovenstaande niet goed is. Met L'Hopital is bijvoorbeeld wel de limiet te bepalen (en men ziet dan dat het gelijk is aan 0). Echter de fout in de beredenering zie ik niet. L'Hopital is ook meer een oplossing om de limiet toch te bepalen in plaats van dat het aangeeft waar de redenering fout is.

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen,

vriendelijke groet,

herman

herman
Student universiteit - vrijdag 12 oktober 2007

Antwoord

Beste Herman,

Inderdaad is de limiet van zowel teller als noemer nul. En 0/0 bestaat niet.
Omdat het gaat om een limiet zijn teller en noemer echter niet helemaal gelijk aan 0.
En een klein getal gedeeld door een ander klein getal kan natuurlijk best een bepaalde waarde hebben. Daar zit dus de fout in de redenering.
Het kan natuurlijk nog stees zo zijn dat de limiet niet bestaat, maar die conclusie mag je niet trekken uit de gegeven redenering.

ALs je de regel van l'Hopital bewijst mag je hem natuurlijk best gebruiken om aan te tonen dat de limiet in dit geval wel bestaat.

Een bewijs vindt je op de engelse wikipedia:

Zoek met Google: l'Hopital's rule.

ldr
vrijdag 12 oktober 2007

©2001-2024 WisFaq