Kwadratische formules opstellen

De formule y=a(x-p)²+q uit een grafiek opmaken en dan opschrijven als een y=ax²+bx+c vorm.

Sandra
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 16 september 2007

Antwoord

Beste Sandra,

Als je begrijpt hoe formules veranderen na transformaties (vershuivingen en/of uitrekken) van een grafiek is het niet zo moeilijk.
Bekijk en bestudeer daarvoor:

Transformaties

Het komt neer op het herkennen van standaardfunctie:
In dit geval een parabool, dus y=x², met top in de oorsprong.
Omdat x is verrvangen door (x-p) is de hele grafiek p naar rechts verschoven.
Als je de grafiek van y=(x-p)² bekijkt, dan zie je dat de top nu ligt bij (p,0).
Verder is de standaardgrafiek verticaal met een factor a uitgerekt.
Staandaard (y=x²) geldt f(1)=1. Door de factor a is nu de uitkomst van y=ax² bij x=1 gelijk aan a.
Ook de grafiek van y=a(x-p)² is, vergeleken met de grafiek van y=(x-p)² verticaal met een factor a uitgerekt.
De q zorgt er voor dat de hele grafiek q omhoog wordt verschoven.

De coördinaten van de top van je grafiek geven dus direct de waarden p en q:
x_top=p en y_top=q.
Nu kan je a bepalen: f(p+1)-f(p)=a.
Soms is dat punt bij x=p+1 niet goed af te lezen.
Zoek dan een ander punt op de grafiek waarvan je de coördinaten wel goed kan aflezen.
Stel dat is het punt met coördinaten (x1,y1).
Dan geldt: (y1-q)/(x1-p)²=a.

Als je eenmaal a, p en q hebt gevonden is het een kwestie van haakjes uitwerken om de formule in de vorm y=ax²+bx+c te schrijven.
Als je dat doet met y=a(x-p)²+q krijg je:
y=ax²-2apx+ap²+q
Dus je zou in het algemeen kunnen zeggen: a=a; b=-2ap en c=ap²+q.
Dat heeft natuurlijk alleen maar zin als je de functies van een heleboel grafieken zou moeten bepalen, anders werk je die haakjes meestal uit als je de waardenvan a,p en q hebt ingevuld in y=a(x-p)²+q.

Hoop dat dit voldoende uitleg is.
succes.

ldr
zondag 16 september 2007

©2001-2024 WisFaq