Gemiddelde van de absolute waarde van de som van 2 stochastische processen

Stel ik heb 2 onafhankelijk, ongecorreleerde stochastische processen X en Y beide met een gemiddelde van 0 en een symmetrische PDF rond 0. Ik heb de volgende aanname gedaan:

E[abs(X+Y)] = sqrt(E[abs(X)].^2 + E[abs(Y)].^2)

Het probleem is dat ik dit wil bewijzen (of een tegenvoorbeeld). Het lijkt te werken in de praktijk. Ik dacht misschien kan ik een link leggen naar de standaardafwijking aangezien dit zeker waar is door de onafhankelijkheid:

sqrt(E[(X+Y)^2]) = sqrt(E[X^2] + E[Y^2])

dus bijv. iets in de richting van:

a*sqrt(E[(X+Y)^2]) = E[abs(X+Y)]

Totdusver weet ik dat voor een normale verdeling met gemiddelde 0 en std sigma de absolute waarde gelijk staat aan een chi-verdeling waarvan het gemiddelde gelijk is aan sigma*(sqrt(2)/sqrt(pi)) oftewel een lineare relatie dus volgensmij kan ik dus al met zekerheid zeggen dat als de eerdergenoemde voorbeelden X en Y normaal verdeeld zijn met verschillende sigma's de eerdergenoemde aanname ook geld. Maar deze conclusie wil ik eigenlijk hebben voor alle verdelingen voor X en Y mits gemiddelde 0, symmetrische rond 0 en onafhankelijk en ongecorreleerd.

cees
Student universiteit - zaterdag 8 september 2007

Antwoord

Beste Cees,

Voor normale verdelingen wel. Dan is immers E(abs(X)) evenredig met de standaarddeviatie.

Maar juist voor eenvoudiger verdelingen is het niet zo.

Neem b.v. X en Y allebei met 50% kans op -1 en 50% kans op 1.
E(abs(X)) = E(abs(Y)) = 1
(Dat is immers de enige mogelijke uitkomst.)

X+Y is -2 (25%), 0 (50%) of 2 (25%).
Dus: E(abs(X+Y)) = 1.

Dat geeft het gevraagde tegenvoorbeeld.

Groet. Oscar

os
zaterdag 8 september 2007

©2001-2024 WisFaq