L_p ruimtes

Hallo wisfaq,

Stel f is een complexe meetbare functie op X en m is een positieve maat op X, en

g(p)=int_{over X} {|f|^p dm}=[||f||_p]^p (0poneindig)

Neem aan dat ||f||_oneindig0
en m(X)=1.

Ik heb aangetoond dat ||f||_r = ||f||_s als
0 r = s = oneindig.
Ik wil graag bepalen wat voor condities er moeten gelden zodat het volgende geldt:
||f||_r=||f||_s oneindig en 0rs=oneindig.

Ik weet dat geldt:
Als 1=pq=oneindig, dan is L^q(m) bevat in L^p(m).
Maar nu wil ik bewijzen dat L^s(m) bevat is in L^r(m) als 0rs.

Groeten,

Viky

viky
Student hbo - dinsdag 4 september 2007

Antwoord

Hoi Vicky,

Daar ben je weer eens. Van maten heb ik niet zo veel verstand. Dus misschien vergeet ik iets belangrijks. Maar van normen weet ik wel wat dus ik zal toch maar proberen je vraag te beantwoorden.

Doordat m(X)=1 geldt in ieder geval ||f||_r=||f||_s voor een constante functie. Mijn vermoeden is dat dat ook de enige mogelijkheid is. Naarmate s hoger wordt gaan de hoogste waardes van f alsmaar zwaarder wegen zodat ||f||_s toeneemt.

Maar goed. Dat moet ik toch wel een beetje bewijzen. Zbda neem ik ||f||_r=1 en probeer ik de f te vinden waarvoor ||f||_s minimaal is. Daarvoor veranderig f infinitessimaal met df. d(||f||_p^p)=ò p|f|^p-1df. Ik maak het mezelf nog iets makkelijker door df te beperken tot twee kleine omgevingen waar f ongeveer constant is (moet f wel continu zijn). In de ene omgeving is fa. In de andere fb. Verder schrijf ik voor de integraal over het eerste gebied: òdf=da en voor het andere: òdfdb. Nu geldt: d(||f||_p^p)=a^p-1da+b^p-1db. ||f||_r moet niet veranderen. Dat geeft je een verhouding tussen $da en db. Bereken je vervolgens d(||f||_s^s) dan zie je dat die alleen negatief is als het verschil tussen a en b afneemt. Het minimum wordt bereikt voor a=b. Uiteindelijk vindt je dus je dat de optimale f overal gelijk moet zijn, oftwel constant.

Dat was het. Wellicht ben ik haken en ogen vergeten. Dat hoor ik dan wel weer. Groet. Oscar

Alternatief. Je kunt ook ||f||_p differentieren naar p. Neem weer ||f||_p = 1 dan is de afgeleide evenredig met: int |f|^p ln(|f|). Voor int |f|^p = 1 is dat inderdaad positief of nul en alleen nul als f=constant.

os
zaterdag 15 september 2007

©2001-2024 WisFaq