De omwenteling van een grafiek om de x- en y-as

Mijn vraag gaat over de inhoud van een lichaam.
Ik neem als formule x⁴, met x 0 t/m 3. bij het omwentelen om de x-as van de grafiek, wordt de inhoud van de ‘ruimte’ tussen de grafiekslijn en de x-as beschreven. De integraal is dan ò py²dx. De inhoud van dit lichaam is ò p (x⁴)²dx→1/9x⁹. bij het invullen van de de x (0 t/m3) is de inhoud 2187p. Tot zover niets aan de hand.

Nu komt mijn probleem:
De ruimte tussen de grafiekslijn en de y-as (y 0 t/m 81) wil ik ook om de x-as omwentelen.
Ik weet dat de optelling 2187p en het ‘onbekende’ lichaam als resultaat geeft: 19683p,
Als ik de twee lichamen bij elkaar optel krijg ik immers een cilinder met r=81 en h=3
(Itot=bxh=pr²x³). Dat betekent dus dat het ‘onbekende’ lichaam een inhoud moet hebben van 19683p- 2187p=17496p (Wat overigens 8/9 van het totale is….).

Ik heb het volgende gedaan:
Omdat ‘onbekende’ lichaam niet zomaar om de x-as gedraaid kan worden…tenminste ik weet niet of dit mogelijk is, probeer ik de aftrek het totale inhoud met de bekende lichaam te combineren zodat ik het ‘onbekende’ lichaam alsnog kan berekenen.
Dit betekent dat ik dus een nieuwe functie y=81 moet gebruiken om de oplossing te vinden.
De integraalsom ziet er dan zo uit (de boven en ondergrens geef ik maar zo aan {a / b}…):
{3 / 0} ò p 81²dx- {3 / 0} ò p (x⁴)²dx
{3 / 0} ò p 81²dx - 2187p →{3 / 0} ò p 6561dx - 2187p

p 6561x│{3/0} - 2187p=19683p-2187p=17496p.

Is ik deze oplossing goed?? Is er een betere/andere integraaloplossing voor mijn probleem…?

Alvast bedankt voor de genomen moeite.

Met vriendelijke groet,

Carlos Acuña

carlos
Student hbo - donderdag 16 augustus 2007

Antwoord

Carlos,
Wat je doet is prima.Zo bereken je de inhoud bij wentelen om de x-as.

kn
vrijdag 17 augustus 2007

©2001-2024 WisFaq