Goniometrische vraag

hee!
IK heb hier een oefentoets van goniometrie maar uit deze vraag kom ik niet uit, ik weet niet hoe ik moet beginnen, de denkwijze achter deze vraag zegmaar. Miss kunnen jullie me daarmee helpen:

Functie: Fp(x)= sinx + cos(x-p) domein [0,2p]

voor welke waarden van p is de grafiek van Fp een lijnstuk? en voor welke waarden is het bereik zo groot moglijk?

Alvast bedankt!
Groetten T.

Tess
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 27 juni 2007

Antwoord

Wat handig is om hierbij te gebruiken, is de identiteit
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb, en
cos(a-b)=sinacosb+cosasinb
(zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Lijst_van_goniometrische_identiteiten )

Je kunt namelijk cos(x-p) schrijven als
sinx.sinp+cosx.cosp

Zodoende is jouw functie
sinx + cos(x-p) te schrijven als
sinx + sinx.sinp+cosx.cosp
= sinx(1+sinp) + cosx.cosp
= A.sinx+B.cosx
(waarbij we even stellen dat A=1+sinp en B=cosp)

Dat A.sinx+B.cosx ziet er in ieder geval al ietsje overzichtelijker uit.
Dit soort functies is namelijk te schrijven als
Ö(A²+B²).((A/Ö(A²+B²)).sinx + (B/Ö(A²+B²)).cosx)
= Ö(A²+B²).(sinx.cosf+cosx.sinf)
= Ö(A²+B²).sin(x+f)

Welnu, het sinus-gedeelte zal altijd dezelfde amplitude hebben, namelijk 1.
Door nu met de Ö(A²+B²) te 'spelen' kun je achter de antwoorden komen.
dit is namelijk het amplitude-gedeelte.
Ga na dat Ö(A²+B²) = Ö(2+2sinp)
Door nu p 'juist' te kiezen, kom je erachter wanneer de grafiek een horizontale lijn is. (amplitude moet simpelweg nul zijn). En wanneer de grafiek maximale uitwijking heeft.

groeten,
martijn

mg
woensdag 27 juni 2007

©2001-2024 WisFaq