Pythagoreïsche driehoek

Een Pythagoreïsche driehoek is een rechthoekige driehoek waarvan de drie zijden gehele getallen zijn. Het bekendste voorbeeld is de driehoek met rechthoekszijden 3 en 4 en hypotenusa 5.

Bepaal alle Pythagoreïsche driehoeken waarvan de oppervlakte gelijk is aan tweemaal de omtrek.

Nina W
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 10 juni 2007

Antwoord

Je kunt de Pythagoreische tripels genereren door twee positieve gehele getallen p en q te nemen met pq.
De zijden van de rechthoekige driehoek zijn dan p²-q²,2pq en p²+q²
De oppervlake is dan ¹/₂(2pq)(p²-q²)=pq(p²-q²)
De omtrek is dan p²-q²+2pq+p²+q²=2p²+2pq
Er moet dan dus gelden: pq(p²-q²)=4p²+4pq
Dus pq(p+q)(p-q)=4p(p+q)
Dus q(p-q)=4
Omdat p en q geheel zijn volgt hieruit dat q een deler is van 4.
Dus q=1 of q=2 of q=4.
q=1 => p-q=4 => p=5. De zijden van de driehoek zijn dan 24,10 en 26.
q=2 => p-q=2 => p=4. De zijden van de driehoek zijn dan 12, 16 en 20.
q=4 => p-q=1 => p=5. De zijden van de driehoek zijn dan 9, 40 en 41.

P.S. zou je het probleem nu ook op kunnen lossen als de oppervlakte 3 maal de omtrek is?

(met dank aan Anneke voor een kortere oplossing)

zondag 10 juni 2007

©2001-2024 WisFaq