Orthogonale basissen

Hallo,

Voor mijn mondeling examen wiskunde moet ik een werk maken rond orthogonale basissen.
De opdracht is de volgende:

We bestuderen lineaire combinaties in de 2 dimensionale ruimte 2 = ´ en in de 3 dimensionale ruimte 3 = ´´.
We maken gebruik van het scalair product (dotproduct of inproduct) en het scalair kwadraat van vectoren.

Heeft er iemand een idee welke richting uitkan? Het is de bedoeling dat ik hier 10 à15 blz over schrijf en dit dan mondeling presenteer.

Dankjewel!

Inge
3de graad ASO - zaterdag 26 mei 2007

Antwoord

Dag Inge,

Het heeft wel lang geduurd. Misschien heb je zelf al wat. Maar hier toch nog even een reactie. Het is ook wel een vraag. De orthogonale basis is heel belangrijk. Maar, wat kun je er aan onderzoeken? De aanduiding van 10 tot 15 bladzijden zegt ook niet veel. Het hang er maar helemaal af hoe uitgebreid je het aanpakt.

Maar goed. Een paar ideeen.

Een mogelijkheid is Gram-Schmidt orthogonalisatie. Als je een willekeurige basis neemt (b.v. voor R³: {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} kun je daar een orthagonale basis uit construeren. Je begint met de eerste vector. Voor de tweede vector neem je een combinatie van de eerste twee die orthagonaal staat op de eerste. Daarvoor gebruik je het inwendig product. Voor de derde neem je een combinatie van de drie vectoren. Je kunt beschrijven hoe dit proces verloopt. Kijken wat eruit komt voor een aantal gevallen. En bewijzen dat het ook altijd het gewenste resultaat oplevert. En wat gebeurt er als je met een afhankelijke verzameling begint?

Een tweede mogelijkheid is een soort toepassing hiervan in de functieruimte. In de functieruimte kun je een basis maken van de machtsfuncties {1, x, x², x³, etc). Het inwdendig product van twee "vectoren" is de integraal van hun product. Neem bijvoorbeeld voor het domein 0 x 1. Doe je nu de Gram-Schmidt orthagonalisatie dan krijg je de Hermite polynomen. Die worden veel gebruikt in de wiskunde. Volgens mij is dat leuk om uit te werken (b.v. t/m x³). Omdat ze orthagonaal zijn kun je makkelijke de coefficienten van een willekeurige functie vinden. B.v. wat is de beste benadering van sin(x) met a0 + a1·x + a2·x² + a3·x³?

Nog een mogelijkheid is een overzicht maken van alle mogelijke bases in R² of R³. Toon aan dat je in R² van elke willekeurige basis naar elke willekeurige andere basis kunt gaan met een combinatie van een rotatie en een spiegeling. En hoe zit dat in R³?

Nog eentje. Het begrip basis is op zich al heel interessant. En vooral het begrip dimensie. Als je een basis voor R³ maakt heb je altijd precies drie vectoren nodig. Als het er minder zijn bestrijken ze maar een deel van de ruimte. En als het er meer zijn zijn ze niet onafhankelijk. Doordat het aantal vectoren in een basis altijd hetzelfde is heeft dat getal een bijzondere betekenis gekregen. Dat noemen we de dimensie.

Nou, ik hoop de je hier wat mee kunt. Succes. Groet. Oscar

os
vrijdag 8 juni 2007

Re: Orthogonale basissen

©2001-2024 WisFaq