Prijstrekking met 3 variabelen

Ik ben een bezig een simulatie van een nummertrekking te programmeren, maar ik stuit op wat problemen met het correct uitrekenen van de uitkomst. Het gaat voornamelijk om de kans dat er een x aantal prijzen uitgaan. Het probleem is als volgt:

Er zijn X unieke nummers. Van deze nummers worden er Y selecteerd. Echter, uit [bX wordt maar een selectie Z daadwerkelijk gebruikt als bron voor Y. Hoe groot is dan de kans dat Y een aantal maal voorkomt in Z?

Een voorbeeld met cijfertjes voor de duidelijkheid:

X = 470.000
Y = 100
Z = 40.000

Dus ik heb 470.000 unieke nummers, hiervan worden er 100 uitgekozen op basis van een selectie van 40.000 (van het originele totaal van 470.000).

Denk bijvoorbeeld aan de volgende casus:
Ik geef 470.000 unieke nummers uit, waarvan de 100(Y) winnende nummers van te voren bekend zijn. Van de 470.000(X) uitgegeven nummers komen er maar 40.000(Z) hun code werkelijk controleren.

Hoe groot is dan de kans dat er:
5 prijzen uitgaan, 10 prijzen, 12 prijzen etc?

Met andere woorden: hoe kan ik dit berekenen?

Govert
Student hbo - donderdag 10 mei 2007

Antwoord

Beste Govert,

We hebben hier met z'n allen verschrikkelijk hard over nagedacht.

Het antwoord is (met de hypergeometrische verdeling):
P(#prijzen = n) = (40000 ncr n)(430000 ncr 100-n)/(470000 ncr 100)
maar omdat de getallen zo enorm hoog zijn kun je dit niet zomaar uitrekenen.

Met de Stirling-banadering: n! = (n/e)^n krijg je je antwoord met een nauwkeurigheid van iets beter dan 10%.

Een andere mogelijkheid is de binomiale benadering met een steekproef van 40000 en een kans van 100/470000. Die is iets nauwkeuriger.

Wel je antwoord precies weten dan heeft het programma WisKit een functie logbinomcoeff() waarmee je de logaritme van een de binomiaalcoefficient zeer nauwkeurig kunt berekenen.

Wij kwamen hierop:
n H(stirling) Bin Norm logbinom(wiskit)
0 0,00014 0,00020 0,00201 0,00014
1 0,00127 0,00171 0,00511 0,00127
2 0,00581 0,00729 0,01155 0,00587
3 0,01757 0,02068 0,02325 0,01784
4 0,03943 0,04400 0,04166 0,04025
5 0,07007 0,07490 0,06643 0,07189
6 0,10267 0,10625 0,09431 0,1059
7 0,12758 0,12918 0,11917 0,1323
8 0,13723 0,13743 0,13405 0,14307
9 0,12978 0,12996 0,13421 0,13605
10 0,10925 0,11061 0,11962 0,11516
11 0,08268 0,08557 0,09490 0,08765
12 0,05672 0,06069 0,06701 0,06047
13 0,03551 0,03973 0,04212 0,03807
14 0,02041 0,02415 0,02357 0,02201
15 0,01082 0,01370 0,01174 0,01173
16 0,00531 0,00729 0,00520 0,0058
17 0,00243 0,00365 0,00205 0,00266

os
zaterdag 19 mei 2007

©2001-2024 WisFaq