Van cosinus naar cosinushyperbolicus

Geachte,
Voor ons eindwerk wiskunde dachten we iets te vertellen over de hypberbool. Op de site http://www.pandd.demon.nl/hypfunc.htm#32 staan deze dingen bij figuur 5:

x' = cos(45° + a) OA
= 2(cos a - sin a) OA

y' = sin(45° + a) OA
= 2(cos a + sin a) OA

x'y' =(cos² a - sin² a) OA²
=(cosh² U - sinh² U) (U= oppervlakte)
= 1/2

Weet u toevallig hoe u van
(cos² a - sin² a) OA²
naar =(cosh² U - sinh² U) komt, of van

(cos² a - sin² a) OA²
= 1/2

? Dank bij voorbaat,
Marieke

mariek
3de graad ASO - maandag 7 mei 2007

Antwoord

Beste Marieke,

Allereerst hartelijk dank dat je me op dit spoor gezet hebt. Ik heb mij al vaak afgevraagd waar de naam "sinushyperbolicus" toch vandaan komt. Nu zie ik dat hij voorkomt uit de hyperbool op een vergelijkbare manier als de sinus voortkomt uit de eenheidscirkel. Eigenlijk had ik dat een beetje moeten verwachten want tenslotte heeft de functie e^x veel te maken met de functie ln(x) en die weer met de functie 1/x. Maar, de relatie is ook niet zo heel eenvoudig. Ik zou het prachtig vinden als dat ook inderdaad jullie onderwerp is/wordt en ben heel benieuwd naar het resultaat.

Dan even over de site die jullie gevonden hebben. Dit is een site die mij enorm fascineert. Ik weet nog niet wie hem gemaakt heeft en waarom. Er staat wel enorm veel op, heel gedetallailleerd uitgewerkt en bijzonder opgemaakt. Maar over het algemeen is het pas te begrijpen als je de stof al beheerst. Ik heb zelf op de wikipedia gekeken bij: hyperbolic function, hyperbolic triangle, hyperbolic angle en hyperbolic section. Daarna was het aanzienlijk beter te begrijpen. Wel in het engels ja. Misschien wil je ze in het nederlands vertalen?

Dan over jullie vraag. De schrijver heeft eerder voor de liggende hyperbool gedefinieerd (onder figuur 2): cosh(U) = x = cos(a)*OA en sinh(U) = y = sin(a)*OA. Daarbij is U de oppervlakte van de hyperbolische driehoek. Er volgt automatisch cosh²(U)-sinh²(U) = x²-y² = 1 want dat was de vergelijking van de hyperbool. Let daarbij op dat je dan nog niet weet watvoor functies die cosh en sinh zijn.
Bij figuur 5 gaat hij de hyperbool 45° draaien (je krijgt dan de hyperbool die voor de meesten van ons bekender is) en uitzoeken wat dan het verband tussen x' en y' is. Hieronder de figuur. Ter verduidelijking heb ik de hyperbolische driehoek er even bij getekend.



Nu wordt jullie vraag misschien al wel eenvoudig. Er staat (iets anders dan jullie opschreven).

eq1) x'y' = ¹/₂(cos²a - sin²a)OA²
eq2) ... = ¹/₂(cosh²U - sinh²U)
eq3) ... = ¹/₂

eq1) volgt uit wat erboven staat (maar daar vroegen jullie niet naar). De factor ¹/₂ komt door cos(45°) = sin(45°) = ¹/₂Ö2
eq2) volgt nu uit de definitie van cosh en sinh hierboven.
eq3) tenslotte volgt direkt uit de (bovengenoemde) eigenenschap die voor de liggende hyperbool was afgeleid.

Heeft dit geholpen zo? Groet. Oscar

os
dinsdag 8 mei 2007

©2001-2024 WisFaq