Taylorreeks van wortel x
Hallo,
Ik zou graag willen weten hoe je de Taylorreeks van wortel x rond x=1 opstelt. Ik weet dat je eerst de afgeleiden moet bepalen en die dan in de algemene taylorformule moet invoeren als je voor x x=1 invult.
Als afgeleiden krijg ik
f(x)= Öx=x1/2
f'(x)= 1/2x-1/2
f''(x)=-1/4x-11/2
f'''(x)=3/8x-21/2
f''''(x)=-15/16x-31/2
Deze vul ik dan in in de Taylorbenadering
f(1)+f'(1)·(x-1)+f''(1)·(x-1)2/2!+f'''(1)·(x-1)3/3!+f''''(1)·(x-1)4/4!...
Toch krijg ik dan een totaal andere uitkomst dan de uitkomst die mathematica 5.2 (computerprogramma) geeft.
Dit is 2+x-1/2-1/8(x-1)2+1/16(x-1)3-5/128(x-1)4
Zou u mij hiermee kunnen helpen en weet u misschien ook de sigmanotatie voor deze reeks?
Heel erg bedankt!
Sophie
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 6 mei 2007
Antwoord
Maar het klopt toch? Misschien dat je de 2!, de 3! etc over het hoofd gezien had.
Laten we eens enkele coëfficiënten uitrekenen:
Jij had: f'(x)=1/2x-1/2
Dus f'(1)= 1/2. dus f'(1).(x-1) = 1/2(x-1)
En dit klopt met (x-1)/2 van Mathematica
verder had je: f"(x)=-1/4x-11/2
dus f"(1)=-1/4. Dus f"(1)(x-1)2/2! = -1/4(x-1)2/2 = -(x-1)2/8
En dit klopt weer met de -1/8 van Mathematica
Als laatste: f"'(x)=(3/8)x-21/2
Dus f"'(1)=(3/8). Dus f"'(1).(x-1)3/3! = (3/8)(x-1)3/6 = (1/16)(x-1)3
En ook dit klopt weer met de 1/16 van Mathematica
groeten,
martijn
mg
zondag 6 mei 2007
©2001-2024 WisFaq
|