Fibonacci eigenschap

In een Practicum over getallenrijen wordt gevraagd welke meetkundige rijen voldoen aan de Fibonacci eigenschap, namelijk 1 + r = r².
Ik begreep dit niet en ben gaan zoeken.
Ik vond in WisFaq het volgende:
er zijn machtrijen 1, t, t², t³, t⁴ die de Fibonacci-eigenschap hebben: u(n) = u(n-1) + U(n-2) en de t voor zo'n machtrij moet dan voldoen aan 1 + t = t².
Ik snap de twee stappen niet. Hoe kan een machtrij 1, t, t² de Fibonacci eiegenschap hebben en waarom is dan weer 1 +t = t²?

Kun je me dit uitleggen?
Li-an

Li-an
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 18 april 2007

Antwoord

Hallo Li-an,
De bedoeling is dit:
Bij een rij u(0), u(1), u(2), .... die volgens een bepaald recept gebouwd is,
Bv. u(n+1) = 3u(n) - 2u(n-1) , zijn dit de rijen:
1, 2, 4, 8, ..... dus zeg maar v(n) = 2ⁿ
en 1, 1, 1, 1, .... w(n) = 1ⁿ
Iedere (zogenaamde lineaire) combinatie is dan ook goed bv:
u(n) = 5v(n) + 3w(n) Dat is dus de rij: 8, 13, 23, 43,... voldoet ook aan het voorschrift.
Blijft het probleem: hoe vind je die meetkundige rijen? Nou , gewoon door proberen:
Welke meetkundige riij u(n) = tⁿ voldoet bv aan u(n+1) = 3u(n) - 2u(n-1) ?
Vul maar in: tⁿ⁺¹ = 3tⁿ - 2t^n-1.
deel door t^n-1, dan krijg je : t² = 3t - 2 Met de oplossingen: t = 2 en t =1 en dus de twee meetkundige rijen hierboven.
Bij de Fibonacci rij gaat het net zo. Alleen zijn de twee oplossingen van t² = t + 1 wat ingewikkelder. Er zit een Ö 5 in.
Maar zo kun je wel verder denk ik.
Succes ermee

JCS
vrijdag 20 april 2007

©2001-2024 WisFaq