Tweede wet van Newton

Hallo Wisfaq,

Ik heb de volgende vraag:

Men laat een object van 3 kg van 500 m boven de grond vallen (onder de invloed van de zwaartekracht). Neem aan dat de zwaartekracht constant is met g=9.8 m/s² en dat de luchtweerstand proportioneel is met de snelheid (-k=-3 kg/s). Laat zien dat het object de grond raakt na 52 s.

Hier is mijn uitwerking:

Ik los dit als volgt op (neem v positief bij beweging naar boven). 2e wet van Newton geeft:


m dv/dt=-mg-kv Þ dv/dt=-g-(k/m)v

vul de waarden van k en m in op de vergelijking makkelijker te maken:

dv/dt=-g-v

Oplossen geeft (met v(0)=0 aangezien we het object laten vallen):

v(t)=9.81(e^-t-1)

Nu voor de positie geldt:

dx/dt = v = 9.81(e^-t-1)

Oplossen geeft (met de conditie dat x(0)=500):

x(t)=-9.8e^-t-9.81t+509.8

Nu het probleem. Voor de tijd waarop het object de grond raakt lossen we op x=0. Maar dit geeft

e^-t+t=52

Nu zie ik wel dat e^-t stukken kleiner is dan t en dus verwaarloosd kan worden maar ik vroeg me af of je dit ook gewoon algebraisch kon oplossen.

Jarko.

Jarko
Student universiteit - donderdag 12 april 2007

Antwoord

Je fysische uitwerking lijkt me volledig in orde. De vergelijking die je uitkomt is niet exact algebraïsch op te lossen, maar je opmerking dat e^-t zeer klein is, is wel correct. Overigens zal de fout die je maakt door 509.81/9.81 af te ronden naar 52, groter zijn dan de fout die je maakt door e^-t te verwaarlozen.

Typisch zal je dan het antwoord staven door een plot te maken van de functie e^-t+t-509.81/9.81, of als je niet met een figuur wil werken kan je de waarde van deze functie uitrekenen in 51.9 en in 52, merken dat er een verschillend teken is en besluiten dat het nulpunt tussen die twee waarden moet liggen, wat je dan alsnog kan afronden naar 52

Groeten,
Christophe.

Christophe
donderdag 12 april 2007

©2001-2024 WisFaq