Re: Wat is de natuurlijke logaritme?

Dit is een reactie op vraag 3401

Ln helemaal niet zo natuurlijk?? Toch wél!!

Ongeveer zoals de functies sin en cos wel cirkelfuncties genoemd worden (het zijn projecties op y-as en x-as van een punt op de eenheidscirkel), zo kun je de functies ln en exp groeifuncties noemen. Dat zit zo:

• Denk je een volstrekt willekeurige groeikromme. Zo'n kromme heeft een asymptoot (de meestal horizontaal getekende grondlijn/tijd-as): z'n as. De hoofdeigenschap ervan is, dat bij equidistante puntenparen op de as steeds evenredige afstanden-paren tot de kromme (loodrecht op de as) horen.
• De raaklijn in een willekeurig punt P van die kromme snijdt de as in O.
• Beschouw O als nulpunt van een assenstelsel, met de 'as' als X-as, het voetpunt (E) van de loodlijn uit P als eerste eenheidpunt, de loodlijn in O als Y-as en z'n snijpunt (F) met de groeikromme als tweede eenheidspunt.
• Klaar! Want de groeikromme-plus-assenstelsel vormt de grafiek van de e-macht-functie(exp), en (na verwisseling van X en Y) van de natuurlijke-logaritme-funtie(ln).

Waar de cirkelfuncties sin en cos te definiëren zijn zónder het cirkelgetal $\pi$, zo blijken de 'natuurlijke' functies exp en ln te introduceren zónder het groeigetal e.

Waarom schoolboeken, en dus ook de meeste leraren, het altijd met een ingewikkelde omweg via e en differentiëren willen doen, mag joost weten.

O ja, net zoals het cirkelgetal vastzit aan iedere draaikromme ($\pi$ = het quotiënt van omtrek en diameter), zo zit het groeigetal vast aan iedere groeikromme (e = het quotiënt van raakpunt-hoogte PE en assnijpunt-hoogte FO).

Hessel
Iets anders - woensdag 11 april 2007

Antwoord

Wiskundig is het allemaal juist, maar of de gemiddelde leerling dit allemaal ook 'natuurlijk' vindt, waag ik te betwijfelen. Hij/zij heeft nou eenmaal meer affiniteit met de 10 vingers en daarom gaat het logaritmewerk met grondtal 10 er meestal als pap in.

De overstap naar e is vrijwel altijd even wennen en het duurt meestal wat langer voordat er complete vertrouwdheid mee ontstaat.

MBL

MBL
maandag 16 april 2007

Re: Re: Wat is de natuurlijke logaritme?

©2001-2024 WisFaq