Stelling Abel Ruffini

Ik had hier een vraag gesteld in de periode waarvan nu alle vragen verdwenen zijn door de servicecrash.
Het ging mij om de stelling Abel Ruffini en hoe die uit te leggen valt. Ik kreeg een link naar wikipedia, maar daar was ik zelf ook al mee bezig geweest. Ik zal proberen mijn probleem nu wat anders te omschrijven.

Zoals wikipedia zegt, een groep is een verzameling getallen met daarop binaire bewerkingen.
Nu kijk ik naar de groep getallen vooral naar de volgende vergelijking:
ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+e=f
Dit is alleen niet in de vorm zoals ik het wil hebben. Zoals bronnen die ik heb gevonden zeggen: Nu komt het bewijzen vn de stelling Abel-Ruffini neer op het berekenen van de Galoisgroep van deze polynoom. Daar loop ik vast. Om vanaf de bovenstaande vergelijking naar de galoisgroep te gaan heb ik niet genoeg kennis, of weet in ieder geval niet hoe dat moet.
Kan iemand me daarbij helpen of anders een gelijkwaardig voorbeeld geven dat makkelijker is. (Ik verwacht dat 't vrij lastige vraag is die ik stel, alhoewel ik niet weet hoe dat is voor ervaren wiskundigen)
Reacties of bronnen in het Engels is geen probleem :)
Alvast bedankt..

Thijs
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 5 april 2007

Antwoord

Beste Thijs,

Het bewijs vergt een grondige kennis van groepentheorie. Voor een derdejaars wiskundestudent is dat nog behoorlijk pittig. Dan heb je een idee van de moeilijkheidsgraad. Ik denk dat het voor een middelbare scholier niet te doen is. Ook ik zal flink moeten studeren om het bewijs te snappen. Maar goed. Je kunt er altijd aan beginnen....

De truuk is dat je probeert de vergelijking te vereenvoudigen door de groep van alle mogelijke transformaties te bestuderen. Het lijkt me verstandig eerst te bestuderen hoe dat bij tweede- en derdegraadsfuncties werkt. (Dan heb je meteen een elegante afleiding van de formule van Cardano).

Het gaat als volgt. De tweedegraadsfunctie aX²+bX+c kun je ook zien als de vector {a,b,c}. Voer je nu een transformatie X=uY+v uit dan krijg je een nieuwe tweedgegraadsfunctie a(uY+v)²+b(uY+v)+c = au²Y²+(2auv+b)Y+(av²+bv+c). (De truuk is natuurlijk da je u en v handig kiest zodat er een simpele functie uitkomt zoals Y²-1, want dan kun je de bijbehorende vergelijking oplossen).
Maar goed, de transformatie X=uY+v geeft bij elke vector {a,b,c} een nieuwe vector. Die afbeelding is lineair, en kan dus worden weegegeven als een matrix. Bovendien vormt de verzameling van alle mogelijke transformaties een groep.

Tot zover ben ik. Het gaat erom dat je door naar de structuur van die groep te kijken de oplossing kan vinden. Dat leidt hier tot de abc-formule, en voor derde- (en vierde-)graadsvergelijkingen tot de formules van Cardano. Voor vijfde- en hogeregraadsvergelijkingen kan het niet. En daarover gaat den jouw stelling.

Om hiermee verder te kunnen zul je een idee moeten hebben van de structuur van dit soort groepen. Daar moet je eerst mee spelen. Je kunt eenvoudiger maar toch nuttige en interessante groepen te vinden door voor a, b en c niet de rationale getallen te gebruiken maar een cyclische groep (dwz modulo rekenen).

De volgende stap is het "oplossen van groepen", want dat is hetgene wat de structuur en de oplosing van de vergelijking bepaald. Maar daarvoor heb je een behoorlijk groepentheoriedictaat nodig.

Nou, hopelijk heb je een beetje idee wat je te wachten staat. Ik wil best kijken hoever ik je kan helpen. Maar het zal een heleboel van jou vergen.

Schrik je hiervan? Dat denk ik dat het heel verstandig is om een eenvoudiger onderwerp te kiezen. Er zijn enorm veel leuke dingen in deze richting te doen. Als je geinterseerd bent in vergelijkingen dan is het afleiden en toepassen van formule van Cardano al een hele mooie klus. Eventueel kun je daar de complexe getallen bij halen. Als je met groepen bezig wilt kun je het nodige uitzoek over cylcische groepen of (de classificatie van) symmetriegroepen.

Groeten,
Oscar

os
vrijdag 6 april 2007

Re: Stelling Abel Ruffini

©2001-2024 WisFaq