Perfecte getallen

Hallo

ik moet een aantal stellingen bewijzen.
één daarvan is de stelling:
Er is een oneindig aantal perfecte getallen

hoe moet je dit bewijzen , of ga ik hier veels te ver op getaltheorie in?

Hanane

Hanane
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 2 april 2007

Antwoord

Hallo,

Het zou sterk zijn mocht je dit kunnen bewijzen, want het is een vooralsnog onopgelost probleem (al is het vermoeden wel dat er inderdaad oneindig veel zijn).

Een feit is dat elk even perfect getal van de volgende vorm is:

(2ⁿ-1) · 2^n-1

Een vermoeden is dat er geen oneven perfecte getallen bestaan, wat dus zou betekenen dat alle perfecte getallen van bovenstaande vorm zijn. Uitgebreide computerzoektochten hebben voorlopig nog geen oneven perfecte getallen opgeleverd, maar dat is natuurlijk geen bewijs, daarop is het dus nog wachten.

Het is vrij eenvoudig aan te tonen, dat als 2ⁿ-1 een priemgetal is, dan dan (2ⁿ-1) · 2^n-1 een perfect getal is. Je kan dit aantonen door na te gaan wat de delers zijn van dit getal (dat is niet zo moeilijk want de ene factor is een macht van twee en de andere factor is een priemgetal), en dan de delers op te tellen. Het is echter niet geweten of er oneindig veel priemgetallen van die vorm zijn (men noemt priemgetallen van die vorm 2ⁿ-1 overigens Mersenne-priemgetallen).

Meer over perfecte getallen (in feite vooral over Mersennepriemgetallen, maar dat komt dus ongeveer op hetzelfde neer) kan je vinden op deze site.

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 2 april 2007

Re: Perfecte getallen

©2001-2024 WisFaq