Oppervlakte driehoek uit (x,y,z)-coördinaten

Er bestaat een formule voor de oppervlakte van een driehoek wanneer we in 2D werken

als A (x₁,y₁)
als B (x₂,y₂)
als C (x₃,y₃)

dan is de oppervlakte

1/2 maal de determinant:
| x₁ y₁ 1 |
| x₂ y₂ 1 |
| x₃ y₃ 1 |

Mijn vraag: bestaat er ook zo een formule om de oppervlakte van een driehoek te berekenen wanneer we in de ruimte werken, met andere woorden, de coördinaten van de 3 hoekpunten van de driehoek zijn gegeven?

Dus als A (x₁,y₁,z₁),
als B (x₂,y₂,z₂),
en als C (x₃,y₃,z₃),

wat is dan in een formule de oppervlakte van de driehoek ABC?

Groetjes
Dank bij voorbaat

Compu
3de graad ASO - zondag 27 oktober 2002

Antwoord

Beste Compu,

Jazeker, zo'n formule bestaat. Hij is wel wat ingewikkelder. Deze formule is af te leiden uit de drie driehoeken die je krijgt door op de coördinaatvlakken te projecteren. Noemen we de oppervlakten van deze driehoeken K_x, K_y en K_z, dan is de oppervlakte K van de oorspronkelijke driehoek gelijk aan

(K_x² + K_y² + K_z²)

Met deze kennis is er dus de formule

          | x1 y1 1 |2    | x1 z1 1 |2    | y1 z1 1 |2
K = 1/2 (| x2 y2 1 |  +  | x2 z2 1 |  +  | y2 z2 1 | )
          | x3 y3 1 |     | x3 z3 1 |     | y3 z3 1 |

Zie Dr. Math FAQ

zondag 27 oktober 2002

©2001-2024 WisFaq