Formule vinden voor exponentiele groei of afname

Hallo,
Ik begrijp niet zo goed hoe men bij een exponentiele groei komt aan de formule x(m.t)=x0.q^m.
Gegeven is dat x(t + dt) = x(t)-px(t)=(1-p).x(t)=q.x(t)
en verder dat x(0)=x0 en t =m.dt
Onze leraar vertelde dat
x(dt) = q x0
x(2 dt) = q x(dt)
x(3 dt) = q x(2 dt)

En dus moet gelden x(m.t) = x0.q^m
Ik snap bovenstaande 3 vergelijkingen niet.

Li-an

Li-an
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 18 maart 2007

Antwoord

Dag Li-an,

In ieder geval heb je het wel goed opgeschreven. Dus ik denk dat je bedoelt dat je je afvraagt wat de vergelijkingen nu precies betekenen? Eens kijken of ik wat voor je kan betekenen:

1) x(t + dt) = q.x(t)
Hier is x(t) de hoeveelheid op tijdstip t. Als je dit weet kun je (bij exponentiele groei) de hoeveelheid x(t+dt) op t+dt (één tijdstap dt later dus) berekenen door met de groeifator (q) te vermenigvuldigen. Als er een procentuele stijging (of daling) is de groeifactor q=1+p (of q=1-p)

2) x(dt)=q.x0 en x(2dt)=q.x(dt)=q².x0
Bij deze vergelijking begin je bij t=0. x(0)=x0. x(dt) is de hoeveelheid één tijdstap later. En die bereken je volgens (1) door met de groeifator te vermenigvuldigen. x(2dt) is de hoeveelheid weer een tijdstap later. Die bereken je door nog een keer met de groeifactor te vermenigvuldigen. En nu wordt het even belangrijk: Je hebt dus twee keer met q vermenigvuldigd. En dat kun je ook schrijven als q². Voor x(3d) vermenigvuldig je x0 drie keer met de groeifactor, oftwele met q³, etc.

3) x(m.dt) = x0.q^m
En dit is dan de laatste stap. Hier staat de hoeveelheid na m tijdstappen. Je moet de beginwaarde x0 daarvoor m keer met de groeifactor q vermenigvuldigen. En zo kom je op x0.q^m

Ik hoop dat je hier wat aan hebt. Groet. Oscar

os
zondag 18 maart 2007

©2001-2024 WisFaq