Dubbele integralen

Graag wilde ik (3 keer) weten hoe je moet oplossen:

1) 'Bereken (of evalueer) onderstaande dubbele integraal over de schijf 'x² + y² $\leq$a²', met a groter dan 0.'

$\int{}\int{}$√(x² + y²) dA
en

2) Voor welke waarden van k is onderstaande dubbele integraal convergent en naar welke waarde nadert deze?
$\int{}\int{}$(dA)/((1 + x² + y²)^k) met domein $\mathbf{R}$

3) Ik snap niet zo goed wat een dubbele integraal is.

Selma
Student universiteit - zaterdag 10 maart 2007

Antwoord

Eerst even algemeen over een dubbele integraal.

Als je kijkt wat je met een enkele integraal kunt doen, dan weet je nog dat je daarmee de oppervlakte kunt berekenen onder een bepaalde curve. Of om het iets preciezer te zeggen: de oppervlakte tussen een curve, de x-as, en twee grenzen die verticaal lopen.

De clou was dan dat je de x-as tussen de linker en de rechtergrens denkbeeldig opdeelde in oneindig veel kleine stukjes dx. Zo'n stukje dx MAAL de y-waarde van de curve was dan een klein bijdragetje aan de totale oppervlakte. De totale oppervalkte verkreeg je dan door te sommeren over al die kleine oppervlaktetjes f(x).dx. Dat deed je dan met een integraal. Een ·enkelvoudige· integraal.



Nu een dubbele integraal: Hierbij gaat het over functies die afhangen van 2 variabelen. dus z=f(x,y). Je kunt hierbij een willekeurig golvend oppervlak in de ruimte voorstellen (bijvoorbeeld een golvend tafellaken dat je uitklopt) waarbij de hoogte van het oppervlak afhangt van de x- en y-coordinaat.

Zo'n golvend oppervlak is in het algemeen begrensd. (het tafellaken is niet oneindig groot). Je kunt nu het volume berekenen onder zo'n golvend oppervlak tot aan het 'grond-vlak'. Daarvoor moet je eerst de grenzen weten van het gebied, zoals je dat uittekent op het grondvlak (x-y-vlak). Op dat grondvlak neem je dan een klein vierkantje dxdy en vermenigvuldigt dat met de hoogte (z-waarde) van de functie. Dit is dus een oneindig dun kolommetje met volume dx.dy.f(x,y)

Door nu alle volumes van alle kolommetjes te sommeren (middels een dubbele integraal) verkrijg je het totale volume onder de oppervlaktecurve.

En waarom een dubbele integraal dit keer? omdat we over het grondvlak in een x EN een y-richting aan het integreren zijn.

Zie voor illustratie Double Integrals

Nu je opgaven.

Je moet al gelijk een iets gevorderde techniek toepassen. Namelijk een coördinaten-transformatie. Omdat je bij opgave 1 een cirkelvormig grondvlak definieert, is het handiger om op poolcoördinaten over te gaan.
x=r.cos$\theta$; y=r.sin$\theta$; en dA = dxdy = r.dr.d$\theta$

$\int{}\int{}$√(x²+y²)dA = $\int{}\int{}$r.rdrd$\theta$
met $\theta$ van 0 tot 2$\pi$ en r van 0 tot a.

Je tweede opgave is nog wat lastiger.

De x² en y² doen reeds vermoeden dat je hier ook op poolcoordinaten over moet gaan.
1/((1+x²+y²)^k) = 1/((1+r²)^k)
en dA = dx.dy = r.dr.d$\theta$

dus Vol=$\int{}\int{}$(dA)/((1+x²+y²)^k)
= $\int{}\int{}$rdrd$\theta$/((1+r²)^k)
met $\theta$ van 0 tot 2$\pi$, en r van 0 tot $\infty$
...= 2$\pi\int{}$rdr/((1+r²)^k)
= $\pi\int{}$dr²/((1+r²)^k)
= $\pi$[1/1-k · 1/(1+r²)^k-1] (r van 0 tot $\infty$)

voor k$>$1 is 0$<$ 1/(1+r²)^k-1$<$1 $\to$ Vol=$\pi$/k-1
voor k=1 is Vol=$\pi$[ln(1+r²)] ofwel je krijgt dan een heel andere primitieve.
$\to$ divergent
voor k$<$1 is 1/(1+r²)^k-1$>$1 dus dan wordt het volume opgeblazen als je $\infty$ invult in de primitieve.

groeten,
martijn

mg
zondag 11 maart 2007

©2001-2024 WisFaq