Convolutie van een rechthoekige verdeling en een normaalverdeling
Ik heb een rechthoekige verdeling van de vorm:
2·a·(1-a·t), 0  t 1/a,
waarbij a positief is.
Verder heb ik een normaalverdeling van de vorm:
1/2·exp(-1/2·(t-mu)2/sigma2)·2^1/2/Pi^1/2/sigma
Ik bereken de convolutie van deze verdelingen volgens:
int(a·(1-a·tau)·exp(-1/2·(t-tau-mu)2/sigma2)·2^1/2/Pi^1/2/sigma,tau = 0 .. 1/a)
Met behulp van Maple heb ik deze integraal expliciet uit kunnen rekenen. De formule is echter nogal gecompliceerd. Bovendien wordt gebruik gemaakt van de z.g. error functie
(erf(x), erf(x) = 2/sqrt(Pi) · int(exp(-t2), t=0..x)).
Zoudt U een relatief eenvoudige expressie kunnen geven voor deze integraal?
Ad van
Docent - vrijdag 2 maart 2007
Antwoord
Helaas, de functie exp(-t2) heeft geen `elementaire' integraal, dat wil zeggen: geen primitieve die in de bekende functies kan worden uitgedrukt. Dit is in de 19-de eeuw door Liouville bewezen.
Maple's hulpscherm over `erf' zegt daarom niets anders dat dat erf een naam voor een primitieve van die functie is.
Zie Over de stelling van Liouville
kphart
zaterdag 3 maart 2007
©2001-2024 WisFaq
|