Volledige maat

Hallo wisfaq,

Een maat heet volledig als de domein van de maat alle deelverzamelingen van nulverzamelingen bevat.

Een verzameling E in M (een sigma-algebra) heet een nulverzameling als u(E)=0. ( u is een maat op M)

Ik heb vragen over het bewijs van de volgende theorie:
Theorie
Stel dat (X,M,u) een maatruimte is.Laat H={N in M : u(N)=0} en M'=(vereniging E en F : E in M, F deelverz. van N voor een zekere N in H}.Dan is M' een sigma-algebra en er bestaat een unieke extensie u' van u naar een volledige maat op M'.

Het is mij gelukt om te bewijzen dat M' sigma-algebra is.Maar ik weet niet hoe ik moet bewijzen dat u' een volledige maat is op M'.

Groeten,

Viky

viky
Student hbo - donderdag 1 maart 2007

Antwoord

Ik neem aan dat je u' op M' gedefinieerd hebt als u'(E vereningig F)=u(E). Ik zou nog even N={F: er is B in H met F deelverz van B} als afkorting invoeren.
Nu moet je laten zien
- u' is goed gedefinieerd, dat wil zeggen: als E vereniging F = K vereninging L met E,K in M en F,L in N dan u(E)=u(K). Dan is niet zo moeilijk; kies F' en L' in H zo dat F deel is van F' en L een deel van L'. Dan volgt u(E)u(K met L')u(K)+u(L')=u(K) (en evenzo u(K)u(E).
- u(lege verz)=0
- u is aftelbaar additief: als (E_n) en (F_n) rijen verzamelingen zijn in respectievelijk M en N met E_n vereniging F_n disjunct van E_m vereniging F_m als n ongelijk m is dat moet som(u'(E_n met F_n), n=1..oneindig) gelijk zijn aan u'(vereniging(E_n met F_n, n=1..oneindig)). Kies weer G_n in N met F_n deel van G_n voor alle n dan volgt dat F=vereniging(F_n,n) deel is van G=vereniging(G_n,n), omdat G in H volgt F in N. Ook is E=vereniging(E_n,n) in M, dus E vereniging F zit in M" en u'(E met F)=u(E)=som(u(E_n),n)=som(u'(E_n met F_n),n).
- als A deel is van B en B behoort tot M' met u'(B)=0, dan A in M': B is te schrijven als E vereniging F, met E in M en F in N, zeg F deel van G met G in H; dan volgt dat E met G tot M behoort en u(E met G)=0. Dan volgt dat A in N zit en dus tot M' behoort want A is de vereniging van de lege verz met zichzelf

kphart
zondag 4 maart 2007

Re: Volledige maat

©2001-2024 WisFaq