Re: Begrensde Variatie

Dit is een reactie op vraag 49186

Hallo Christophe,

Ik begrijp alles tot "Vul de bekomen ongelijkheid in in je gelijkheid, je krijgt":

er geldt
sup som[(x_i,x_(i-1))|f'(y_i)|]=sup som[|f(x_i)-f(x_(i-1))|

maar rechts staat al T_f(a,b)

Daarom begrijp ik het volgende niet,
sup som[(x_i,x_(i-1))|f'(y_i)|]=sup som[|f(x_i)-f(x_(i-1))|
= |f(x_n)-f(x_1)| ik noem dit even (A)

vraag1.Waarom staat links de Riemannsom ?
Staat er niet de upper sum van f U(P,f)=som[f(x)]|I_i|
som van i=1 t/m N, supremum over alle x in I_i=[x_(i-1),x_i], en |I_i|=x_i-x_(i-1), maar nu met sup buiten de som.

vraag2.De totale variatie van een functie f op [a,x] (met a=x=b) is gedefinieerd als

T_f(a,x)=sup som[|f(t_j)-f(t_(j-1))|,
som van j=1 t/m N, sup over alle partities [a,x], en een partitie is a=t_0t_1...t_N=b

daarom begrijp ik niet waarom |f(b)-f(a)|=T_f(a,b) want

sup som[|f(x_i)-f(x_(i-1))|=T_f(a,b)

Dus ik lees (A) als

int[f(x)dx] over [a,b]=T_f(a,b) = |f(b)-f(a)|

Waar maak ik nu de denkfouten?

Groetjes,

Viky

viky
Student hbo - donderdag 15 februari 2007

Antwoord

Dag Viky,

Sorry maar ik ben blijkbaar een beetje haastig geweest en heb ook het begrip totale variatie verkeerd geïnterpreteerd. Vergeet dus het vorige antwoord maar, dit is opnieuw een antwoord op je oorspronkelijke vraag...

T(f(a,b)) is dus blijkbaar gedefinieerd als
T(f(a,b))=sup å |f(x_i)-f(x_i-1)|
waarbij het supremum loopt over alle partities van het interval [a,b].

Dat is ook een logische definitie: bekijk twee functies die allebei lopen van het punt (0,0) tot (1,1), de eerste is een rechte, de tweede is een functie die heel veel op en neer gaat op dat interval, dan zal die tweede een veel grotere totale variatie hebben.

Goed, je hebt in je eerste vraag duidelijk alle stappen aangegeven, dus ik veronderstel dat je geen problemen hebt om te komen tot
T=sup å (x_i-x_i-1)|f'(y_i)|

waarbij die y_i in het interval [x_i-1,x_i] ligt en zo gekozen is dat die voldoet aan
f'(y_i)=(f(x_i-f(x_i-1))/(x_i-x_i-1).

Als je het 'te bewijzen' wil aantonen, heb je dus enkel nog de ongelijkheid
sup å (x_i-x_i-1)|f'(y_i)| ò|f'(x)|dx
nodig.

Echter, schrijf nu die integraal als supremum van de ondersommen. Dus dat is het supremum, over alle partities van het interval [a,b], van (x_i-x_i-1)|f'(z_i)|

De (x_i-x_i-1) geeft hier de lengte van een intervalletje uit je partitie, de z_i is dan de waarde in dat interval waarvoor |f'| minimaal is (ha ja, je wil de ondersom). Meer specifiek geldt dus dat, voor een bepaald interval [x_i-1,x_i], dit interval zowel y_i als z_i bevat, en dat |f'(z_i)||f'(y_i)|

waaruit volgt dat
ò|f'(x)|dx
= sup å (x_i-x_i-1)|f'(z_i)|
sup å (x_i-x_i-1)|f'(y_i)|
= T.

En dit is wel degelijk juist, lijkt mij

Groeten,
Christophe.

NB: enkele corrigerende opmerkingen, met dank aan beantwoorder kphart:

1. f' hoeft niet continu te zijn, dus de ondersommen hoeven niet van de vorm te zijn die gebruikt zijn; dat is te verhelpen door |f'(z_i)| te vervangen door m_i, het infimum van |f'| op [x_i.x_{i-1}]. Waarbij het verschil dus is dat dit infimum niet bereikt hoeft te worden. Voor functies waarvoor f' continu is blijft de redenering wel correct, dit is dus een uitbreiding voor die klasse van functies waarvoor f' niet continu is.

2. Niet alleen is er niet gegeven dat f' niet noodzakelijk overal continu is, ook is niet nodig dat f' overal bestaat. Het kan dat f' slechts "bijna overal" bestaat. Het goede nieuws is dat dit voor de Lebesgue-integraal niet erg is. Te zien aan de openingszin van je oorspronkelijke bewijs "neem aan dat f' differentieerbaar is" heb je dat over het hoofd gezien.

Christophe
zondag 18 februari 2007

©2001-2024 WisFaq