Oppervlakte omwentelingslichaam
Gegeven is een functie f(x) = sin(x) op [0,p/2].
Wentel de grafiek hiervan om de x-as en bepaal de oppervlakte van het omwentelingslichaam. Laat hierbij het zijvlak op x = p/2 buiten beschouwing, slechts de mantel is van belang.
Ik bedacht dat je in feite cirkeldoorsnedes evenwijdig aan de y-as kunt maken, waarbij je van elk de omtrek kan bepalen. Als je van alle cirkels op [0,p/2] de omtrek optelt, verkrijg je de gezochte oppervlakte. Dat zou neerkomen op:
2p ∫sin(x) dx met ondergrens 0 en bovengrens p/2, dus:
2p·((-cos(p/2)) - (-cos(0))) = 2p
Nu blijkt dat ik op het goede spoor zat, maar de integrand niet helemaal compleet is. Blijkbaar moest deze namelijk zijn:
sin(x)·Ö(1+cos(x)2)
Hierbij is gebruik gemaakt van de formule waarmee je de lengte van een stuk grafiek kan bepalen.
Wat is fout aan mijn aanpak? En waarom klopt die ander wel? Ik volg namelijk niet waarom de lengte van een stuk grafiek er iets mee te maken heeft.
Dank jullie wel,
Bart K
Student universiteit - dinsdag 6 februari 2007
Antwoord
Beste Bart,
De correcte formule voor de omwentelingsoppervlakte van f(x) tussen x = a en x = b, is:
2p òa®b f(x)Ö(1+f'(x)2) dx
Zie wikipedia of mathworld voor achtergrond bij deze formule.
mvg,
Tom
dinsdag 6 februari 2007
©2001-2024 WisFaq
|