Omrekenen van coordinaten tussen twee (deels overlappende) Carthesische stelsel

Gegeven: twee carthesische coordinatenstelsels(A en B).
De stelsels zijn ten opzichte van elkaar gedraaid. De oorsprongen (0,0) van beide stelsels liggen niet op hetzelfde punt.

Stel dat van een tweetal verschillende coordinaten uit stelsel A (Xa, Ya) de bijbehorende coordinaat uit stelsel B (Xb, Yb) bekend is, hoe bepaal ik daarmee de omrekenformule/methode om van een willekeurige (Xa, Ya) de (Xb, Yb) te bepalen?

G.
Iets anders - zondag 28 januari 2007

Antwoord

dag G.

Dat is best ingewikkeld.
Ik neem aan dat je van twee punten met co顤dinaten uit stelsel A de bijbehorende co顤dinaten uit stelsel B kent.
Verder ga ik er van uit, dat voor elk van beide stelsels een eigen schaal geldt, maar dat voor elk stelsel de schaalverdeling op beide assen gelijk is.
Je kunt het als volgt visualiseren.
Noem O de oorsprong van stelsel A, en O' de oorsprong van stelsel B.
Stelsel B is ten opzichte van A gedraaid over een hoek $\alpha$
De schaal van B is een factor f maal de schaal van A.
Stel dat je de ligging van de stelsels ten opzichte van elkaar kent.
Er zijn drie stappen nodig om het nieuwe assenstelsel B over te voeren in het oude stelsel A:

• translatie T over de vector v = O'O
• rotatie R om O over een hoek -$\alpha$
• vermenigvuldiging V vanuit O met factor ¹/_f

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

In bijbehorende Cabri is P het punt in het oude stelsel. P' geeft dan het punt met de co顤dinaten zoals die voor het nieuwe stelsel gelden.
Verschuif P om te zien wat er met P' gebeurt.
Je kunt ook O' verschuiven, en ook de schaal van stelsel B (verschuif de 1 op de nieuwe y-as).
OK, nu dan de situatie waar je om vraagt.
Je kent de punten P en P', en de punten Q en Q', en je wilt voor elk nieuw punt X de co顤dinaten van X' weten.
Noem de vectoren
p = OP
p' = OP'
enzovoort, op de voor de hand liggende manier.

Je weet:
p' = V愛愁(p)
q' = V愛愁(q)
Verder is
T(p) = p + v
en
T(q) = q + v
Bekijk nu
p' - q' = V愛(p + v) - V愛(q + v))
Dankzij de lineariteit van V en R is dit gelijk aan V愛(p - q)
Je weet nu dus een vector en zijn beeld onder V愛
Hiermee zijn hoek $\alpha$ en factor f te berekenen.
Dan is de berekening van v ook geen probleem meer.
Je kunt hier wel een mooi programmaatje voor schrijven.
groet,

woensdag 31 januari 2007

©2001-2024 WisFaq