Re: Serienummers van bankbiljetten

Dit is een reactie op vraag 48564

Bedankt voor het antwoord, maar het probleem is dat mijn leraar niet tevreden is met een 'ongeveer'-antwoord. Ik ben niet geheel overtuigd van de methode (het is zo, 1 op de 9 sommen geeft een geldig serienummer, maar niet alle sommen komen even vaak voor).
Dan ben ik toch benieuwd of er een manier is om het aantal mogelijkheden voor die som te berekenen?

Michie
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 28 januari 2007

Antwoord

Beste Michiel,
Sorry voor het "ongeveer" . Dat was niet serieus bedoeld (inde trant van: 2 + 2 eh... da's ongeveer 4) Dat 'ongeveer' kun je vervangen door 'precies' of gewoon weglaten.
Er zijn precies 11 111 111 111 serienummers van 11 cijfers die op 1 uitkomen als je herhaald de cijfers optelt. Dit zijn precies alle 9-vouden +1, dus alle getallen 9 n +1,
waarbij n = 0, 1, 2, ... t/m 11 111 111 110.
Waarom is dat zo ?
We kunnen alle (hele positieve) getallen indelen in 9 klassen, K(0), K(1), ...,K(8), K(9). (K(0) valt samen met K(9)) "Restklassen modulo 9" worden ze meestal genoemd.
Twee getallen zitten in dezelfde klasse als hun verschil deelbaar is door 9.
Bv 8 en 53 zitten in dezelfde klasse, want 53 - 8 = 45 = 5 x 9. ("53 ~ 9 (mod 9)" )
K(i) bevat alle getallen van de vorm 9n + i ,voor i = 1, 2, ..., 9
Anders gezegd: K(i) bevat alle getallen die bij delen door 9 rest i hebben.
Nu willen we aantonen dat K(i) ook precies die getallen bevat die bij herhaald optellen van de cijfers op i uitkomen.
Voor het gemak schrijven we SC voor de operatie "som van de cijfers nemen" en SCH voor "herhaald SC" bv als x = 54963458158, dan is SC(x) = 58 en SCH(x) = 4. Dus SCH (x) is altijd een getal van 1 cijfer, 1 t/m 9 dus.
De mop is nu dat je door deze operaties uit te voeren altijd in dezelfde klasse blijft. Dat is zo omdat 1) Als x bv in K(i) en y in K(j) dan zit x + y in K(i+j) (Als i+j groter dan 9 is dan vervangen door SC(i+j)) Dit kun je gemakkelijk zelf bewijzen.
2) 1000000 zit K(1) ,want 1000000 = 999999 +1
3) 40000 zit in K(4), gebruik 1)
4) x zit in dezelfde klasse als SC(x) en dus ook als SCH(x)
5) Conclusie: Als SCH(x) = i dan zit x in K(i) en omgekeerd
6) SCH(x) = i is precies dan het geval als x een 9-voud + i is.

Nu nog een paar ideetjes voor je werkstuk.
Je had al uitgezocht bij hoeveel serienummers x SC(x) = 1 nl 11 stuks.
Hoeveel zijn er met SC(x) = 10 Dat is een heel werk.(het zijn er nl meer dan 100 000)
en nummers met SC(x) = 46 bijvoorbeeld, daarvan zijn er bijna 4 miljard.
Om deze aantallen met de hand te bepalen is een verschrikkelijk werk. Doe maar niet.
Wat wel te doen is en ook wel een beetje inzicht geeft is: Probeer het eens met een kleiner probleem. (Een goede strategie in het algemeen!!)
Neem serienummers van 2 cijfers, of 3, of 4. Hoeveel zijn er daar met SC = 10 of 19 etc. ?

Nog iets anders: Een kans experiment kan helpen om een schatting te krijgen van het aantal serinummers met SC = k
11 worpen met een 10 kantige dobbelsteen (met nummers 0,1 t/m 9) geeft een randomserienummer. Je kunt dus een simulatie programma maken om een groot aantal serienummers te trekken en steeds de SC daarvan te nemen.

Tenslotte nog iets waarmee je indruk kunt maken op je leraar.
Het aantal manieren om met 3 worpen met een dobbelsteen een totaal van k ogen te krijgen kan met algebra bepaald worden: (x + x² + ...+ x⁶)³ = x³ + 3 x⁴ + 6 x⁵ ...
De coëfficiënt van x^k is het aantal manieren om k ogen te krijgen.(bv 5 kan op 6 manieren:
122, 212, 221, 113, 131, 311)
Voor de serienummers neem je de 11de macht van 1 + x + x² +....+ x⁹ en laat dat uitwerken tot machten van x. Een computer met computeralgebra doet dat in minder dan 1 seconde. De coëff. van x^k geeft het aantal getallen x met SC(x)= k.
Voor k =1 : 11 k = 10 : 184 745 k = 19 : 19 013 852
28 : 330 786 236
37: 1 807 222 010
46: 3 873 680 294
55: 3 525 659 402
64: 1 350 100 235
73: 196 198 211
82: 8 222 375
91: 43 758

Veel succes met je werkstuk.

JCS
vrijdag 2 februari 2007

©2001-2024 WisFaq