Begrensde rijen

We hebben in de cursus seminarie wiskune Rijen en reeksen gezien. Op een bepaald ogenblik stond er op het bord de volgende eigenschap:
Elke stijgende (dalende) en naar boven (onder) begrensde rij convergeert naar
haar supremum (infimum).
Je probeert natuurlijk te volgen, maar op sommige momenten gaat het toch even te snel. Deze tak van de wiskunde vereist ook nogal een abstract denken.
Om te bewijzen dat deze stelling klopte, was onze leerkracht bezig over het feit dat een rij pas begrensd is in haar eindtermen en dus...
Toen moet ik iets essentieels gemist hebben waardoor ik deze stelling niet kan uitleggen.
Kunnen jullie mij verderhelpen?

Michie
3de graad ASO - vrijdag 19 januari 2007

Antwoord

Beste Michiel,

Laat me de stijgende rij als voorbeeld doen. Intuïtief is het eenvoudig: als er een supremum is (kleinste bovengrens) en een rij is stijgend, dan moet ze convergeren naar dat supremum. De rij kan er immers niet boven gaan (want het is een bovengrens), maar kan ook niet naar iets kleiner convergeren (want dan was er nog een kleinere bovengrens). De laatste optie is dat de rij zou schommelen, maar dat kan niet omdat we met een stijgende rij te maken hebben. Nu nog wat 'formeler' opschrijven, zo kan je ook oefenen met symbolische bewijsjes.

Een eigenschap van het supremum (van een rij of, algemener, van een verzameling) is dat je altijd elementen kan vinden die willekeurig dicht bij het supremum liggen. Als ik het i-de element van de rij u(i) noteer en het supremum als s, dan kunnen we dit noteren als:

"e0, $i: s-e u(i) s

Welke (positieve) e je ook kiest, er is wel een element u(i) dat minder dan e kleiner is dan het supremum. Maximaal kan u(i) zelfs gelijk zijn aan s, maar we hebben zeker dat u(i) s-e.

Nu betrekken we het stijgen van de rij erbij. We hebben net zo een index i gevonden voor een zekere e, dan geldt voor een index ji dat u(i)u(j), omdat de rij stijgend is (niet-dalend). Maar u(j) kan niet groter zijn dan s, dus zeker niet groter dan s+e. Als we de gevonden ongelijkheden samenvoegen, dan kunnen we zeggen dat:

s-e u(i) u(j) s s+e

Maar nu hebben we u(j) begrensd tussen s-e en s+e, wat precies hetzelfde is als |u(j)-s| e. Als je de definitie van de limiet met e gezien hebt, dan herken je dit waarschijnlijk. Dit wil namelijk zeggen dat de limiet voor j naar oneindig van u(j) gelijk is aan s, de rij convergeert dus naar s.

Veel uitleg voor een klein bewijs, hopelijk begrijp je de strategie

mvg,
Tom

vrijdag 19 januari 2007

©2001-2024 WisFaq