Wet van Benford

In het antwoord op mijn vraag over Benford's wet op 15-1-02 Johan gaf interessante informatie met de formule voor de kansverdeling in de Benford Wet:

Ln(1 + 1/d)/Ln(B)

met "d" het digit en "B" de basis van het numbersysteem. Johan verder stelde dat voor B=1 deze formule niet opgaat. Dat is niet geheel juist. Voor functies waarvan de intiele waardering uitkomt op 0/0 kan een antwoord gevonden worden via o.a. L'Hospital Methode of eevoudigweg via een numerische benadering via bijvoorbeeld

Ln(x)/Ln(y) x -----> 1 en y------> 1 en in de limit zal het duidelijk zijn of er al dan niet een limietwaarde bestaat. Voor Basis 1: Ln(1+1/1)/Ln(x) x------> 1 geeft een limietwaarde van 1. Dit is in o vereenkomst met mijn voorbeeld dat voor Basis 1 ook elk number met een 1 begint.

Ik vond de overige antwoorden trouwens zeer informatief!
Bedankt.

Conrad
Ouder - zaterdag 19 oktober 2002

Antwoord

Dag Conrad,

Kan verkeerd zijn, maar volgens mij is L'Hopital niet van toepassing... in je limiet gaat de teller naar ln(2) en de noemer naar 0.

Het concept tellen in basis 1 is los hiervan zinloos:
Je kan elke x voorstellen met cijfers van 0 tot B-1=0.
Dus je kan enkel cijfer 0 hebben.
x=sum(0.1ⁱ)=0...
Dus je kan enkel het getal 0 voorstellen.

Dank voor andere complimentjes...

De wet is niet van toepassing op het niet-positiesysteem waar je 1,2,3, ... voorstelt met 1,11,111, ... -

De Wet van Bedford stelt:
Een willekeurige grootheid (stochastische variabele) wordt voorgesteld in het B-tallig talstelsel door een getal N.
De kans dat N een eerste beduidend cijfer d heeft, is: P(d)=ln(1+1/d)/ln(B). Dit beantwoordt wellicht je laatste vraag.

In heb binaire stelsel met B=2: P(1)=ln(2)/ln(2)=1: het eerste beduidende cijfer van een binaire voorgesteld getal is (per definitie) inderdaad altijd 1.
Het gaat om een positievoorstelling van een getal in de vorm sum(a_i.Bⁱ). Voor B=1 is dit nonsens; je kan enkel 0 voorstellen.
Voor Romeinse cijfers bijvoorbeeld is de wet ook niet van toepassing.

De vraag is welke is de verdeling is die willekeurige grootheden en hun maat... In jouw voorbeeld 1 ga je duidelijk uit van specifieke variabele (een willekeurig getal tussen 1 en 10^k) en een uniforme verdeling; elk getal is even waarschijnlijk. De Wet is inderdaad niet van toepassing. De Wet van Bedford heeft het namelijk over een willekeurige variabele.

Dat is precies de onduidelijkheid... de verdeling van 'alle getallen' waar een mens in contact mee komt.
Als je een specifieke stochastische variabele bekijkt (hoogtes van bomen enz) dan heb je praktisch iets wat op een normale verdeling lijkt met een gemiddelde, standaarddeviatie enz.

De vraag is verwant met: waarom zijn de hoogtes van de bomen normaal verdeeld?
Waarom zijn de diameters van zandkorrels niet normaal verdeeld, maar hun logaritmen wel?
Waarom zijn wachttijden van taxis exponentiëel verdeeld en niet normaal?
Hoe 'bewijs' je de wetten: F=ma, E=mc², F=G.m1.m2/d², x=v.t ?

Dit zijn nu eenmaal empirische vaststellingen, waar we een verklaring voor kunnen vinden, maar die we niet kunnen afleiden van abstract wiskundig denken.
We kunnen ze wel beschrijven met een benaderende formule, maar dat 'bewijst' inderdaad niks. En dan mag je die formule enkel toepassen als je aan een aantal voorwaarden voldoet (x=v.t als v niet in de buurt van de lichtsnelheid komt enz).

Je hebt wel een punt dat het opmerkelijk is dat dit onafhankelijk is van de basis B... en blijkbaar ook onafhankelijk van een conversiefactor (van $ naar Yen bv).

Op het web vind je natuurlijk meer hierover.

Groetjes,
Johan

andros
zaterdag 19 oktober 2002

©2001-2024 WisFaq