Schaakbord: aantal vierkanten

Goedenavond,

Een opgave in mijn wiskundeboek luidt:

Een schaakbord bestaat uit 64 velden.
a) Hoeveel vierkanten van 3 bij 3 velden zijn er op het schaakbord?
b) Hoeveel vierkanten zijn er in totaal op een schaakbord aan te wijzen?

De antwoorden die ik zelf geneigd ben te geven, zijn deze:

a) Een schaakbord bestaat uit 64 velden, dat zijn 64 vierkantjes van 1 bij 1, 8 op elke rij, 8 op elke kolom, in totaal dus 8x8=64 vierkantjes.
Er passen 9 vierkantjes van 1 bij 1 in een vierkant van 3 bij 3 (immers: 3x3=9).
Als ik een vierkant van 3 bij 3 linksonder op een schaakbord leg, kan ik er een naast leggen (er is immers in totaal 6 velden ruimte horizontaal). Voor een derde vierkant heb ik horizontaal geen ruimte meer, omdat er horizontaal maar 8 velden zijn en dus geen 9.
In verticale richting geldt hetzelfde, zodat ik 2x2=4 vierkantjes van 3 bij 3 op een schaakbord van 8 bij 8 kan leggen.

b) Een schaakbord bestaat uit 64 velden, dus zijn er 64 vierkantjes van 1 bij 1 op te leggen, elk ter grootte van een veld.

Als u begrijpt hoe ik tot bovengenoemde antwoorden ben gekomen, kunt u mij wellicht uitleggen hoe mijn antwoordenboek tot de antwoorden: a) 36 en b) 204 komt en wel zodanig, dat ik de antwoorden die mijn antwoordenboek geeft, begrijp... ļ

Groet,

Robert

Robert
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 5 januari 2007

Antwoord

Beste Robert,

a) Op een schaakbord van 8x8 vakjes kun je op de bovenste rij 6 vierkanten aanwijzen van 3x3 vakjes (immers, werkend van links naar rechts kun je op de twee rechterkolommen geen vierkant meer aanwijzen van 3x3 vakjes). Van boven naar beneden (op de linkerkolom) kun je op dezelfde manier 6 vierkanten aanwijzen van 3x3 vakjes. Conclusie: je kunt op een schaakbord van 8x8 vakjes in de lengte 6 vierkanten aanwijzen en in de breedte ook 6, dus in totaal kun je 6×6=6²=36 vierkanten aanwijzen van 3x3 vakjes.

b) Analoog aan hierboven:
aantal vierkanten van 1x1 vakje: 8×8=8²=64.
aantal vierkanten van 2x2 vakjes: 7×7=7²=49.
aantal vierkanten van 3x3 vakjes: 6×6=6²=36.
...
aantal vierkanten van 8x8 vakjes: 1×1=1²=1.

Het totaal aantal mogelijke vierkanten dat je kunt aanwijzen op een schaakbord van 8×8 vakjes is:
64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204.

Begrijp je overigens waarom 'vierkantjes' iets te maken heeft met kwadraten?

Succes!

KLY
vrijdag 5 januari 2007

©2001-2024 WisFaq