Parameters zoeken zodat 2 vlakken evenwijdig zijn

Ik wou eens een oefening oplossen die we niet in de les gemaakt hebben, voor mijn examen morgen. Maar ik zit vast.

In een geijkte ruimte zijn de volgende vlakken gegeven.(met k,m in )
a- kx+12y-kz+3k = 0
b- (m+8)x+(k+2)y+mz+k+6 =0

Bereken k en m zodat die vlakken evenwijdig zijn. Kunnen ze ook samenvallen?

Ik weet dat 2 vlakken // zijn als:
(u₂, v₂, w₂) = k (u₁, v₁, w₁)

Ik zie dat je die parameters aan elkaar kunt gelijk stellen. Zo k = m+8 en 12= k+2 ...
Maar dan blijf je toch altijd met die onbekende factor (in de defintie k) zitten? Kunnen jullie mij op weg helpen? Ik kan normaal vergelijkingen van rechten en vlakken en richtingsgetallen enzo wel berekenen.

Vicky
3de graad ASO - zondag 17 december 2006

Antwoord

de normaalvector van a is (k, 12, -k)
de normaalvector van b is (m+8, k+2, m)

De 2 vlakken zijn aan elkaar parallel als de normaalvectoren parallel staan.
(k, 12, -k)=q.(m+8, k+2, m)

dus je krijgt het stelsel
1. k=q(m+8)
2. 12=q(k+2)
3. -k=q(m)

3 in 1 invullen: 2k=8q Û k=4q
k=4q invullen in 2. : 12=4q²+2q Û 2q²+q-6=0
mbv de abc-formule volgt q_1,2=(-1±7)/4
dus q=-2 Ú q=3/2
bij q=-2 hoort k=-8 en dus m=-4
bij q=3/2 hoort k=6 en dus m=-4

bij de ene oplossing hoort de normaal (-8,12,8) resp (4, -6, -4)
bij de andere opl. hoort de normaal (6,12,-6) resp (4, 8, -4)

En of ze kunnen samenvallen hangt er vanaf of bij één van de 2 q's de 3k (uit vgl a) en de k+6 (uit vgl b) gelijk zijn.
Dit blijkt niet het geval te zijn.

Je kunt wel 3k en k+3 aan elkaar gelijk krijgen, maar dan lopen de vlakken niet meer parallel.

groeten,
martijn

mg
zondag 17 december 2006

©2001-2024 WisFaq