Verticale, horizontale en scheve asymptoten

Ik weet wel wat asymptoten zijn, alleen is het mij niet duidelijk hoe ik deze nou kan berekenen of vinden.

Voor een verticale asymptoot doe ik altijd in een quotiënt de noemer gelijk aan 0 stellen.

Voor een horizontale asymptoot vul ik altijd de functie in mijn GR in, met x=100 000.

Maar hoe vind ik nou een scheve asymptoot? Als ik bijvoorbeeld de functie ( (x-1)(x-4) ) / (x-5) heb, heb ik geen idee wat ik moet doen. Als ik ± 100 000 invul, dan komt er dat ook weer uit, dus dan schrijf ik op y=x, maar wat betekent dat en is dat wel goed?

Alvast bedankt!!!!

Charlo
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 11 december 2006

Antwoord

Voor het vinden van vergelijkingen van verticale asymptoten is het in eenvoudige gevallen inderdaad voldoende om te kijken waar de noemer gelijk aan nul wordt.
Je dient echter wel te controleren of voor de gevonden waarde(n) van x de teller niet tegelijkertijd ook nul wordt! Is dat wél het geval, dan is er doorgaans geen verticale asymptoot meer.
Deze aanpak is echter zeker niet sluitend. Denk maar aan de grafieken van logaritmische functies, bijv. van f(x) = ²log(x).
Er is sprake van een verticale asymptoot, namelijk x = 0, en toch is er geen noemer die gelijk wordt aan nul.

Voor horizontale asymptoten wordt inderdaad een 'grote' x ingevuld, maar dan moet je er wél meer dan 1 invullen. Dus bijvoorbeeld x = 10000 en dan x = 100000 en bovendien moet je dat ook nog met negatieve waarden herhalen (als dat mogelijk is). Vaak komt er hetzelfde uit, maar dat hoeft niet het geval te zijn.
Ook hier geldt: jouw aanpak dekt de simpele gevallen die je op de middelbare school tegenwoordig tegenkomt.

Scheve asymptoten gaan op een andere, veel lastiger, manier.
De functie die je meestuurde kun je schrijven als y = x + 4/(x-5)

Als x nu 'heel groot' of 'heel klein' wordt gekozen, dan wordt de waarde van de breuk 4/(x-5) vrijwel nul en is daarmee verwaarloosbaar.
Dat betekent dan dat de waarde van de functie vrijwel gelijk is aan x.
En dat betekent dan dat de grafiek van f erg dicht in de buurt gaat komen van de lijn y = x.

Je merkt aan deze uitleg wel dat er veel meer over te zeggen is. In het huidige wiskundeonderwijs op de middelbare school zijn de asymptoten helaas erg uit beeld geraakt. Allerlei ingewikkelde gevallen zul je dan ook niet meer tegenkomen.

MBL

MBL
vrijdag 15 december 2006

©2001-2024 WisFaq