11 is een deler van 3^{3n +1}+7·5^n-1

Hoi!
Ik moet een bewijs door volledige inductie opstellen.
Ik heb gekozen voor dit bewijs en heb al enkele stappen gezet maar zit vast. Kunenn jullie me helpen? Dit zijn de stappen die ik al heb.Dit tekentje staat voor tot de macht: ^

Geg.: n € met uitzondering van 0
Teb: 11 is een deler van ((3 tot de macht 3n+1) + 7 · (5 tot de macht (n-1))).
Bew: 1) Basisstap: n=1:
3^(3·1+1) + 7·5¹-1 = 3⁴+7 =88
Þ11 is een deler van 88 want 8·11=88
2) Inductiestap van n=k naar n=k+1
Hypothese:
11 is een deler van ¨3^((k+1)+1)+ 7·5^((k+1)-1)
=27^(3k+1)+7·5·5^k-1
=5·3^(3k+1)+ 5·7·5^k-1+ 22·3^(3k+1)
Voor dat laatste deel 22·3^(3k+1) is dat in orde want 11 is een deler van 22.
Maar hoe doe je dit dan voor dat eerste deel? Je zou moeten kunnen bewijzen dat die 2 leden ook deelbaar zijn door 11...
Kunnen jullie me daarbij helpen?

Servaa
3de graad ASO - zondag 3 december 2006

Antwoord

Je bent er bijna. Haal de 5 buiten haakjes en dan heb je 5(3^3k+1+7·5^k-1) en dat is, bij inductieveronderstelling deelbaar door 11.

kphart
zondag 3 december 2006

©2001-2024 WisFaq