Raaklijn door een P aan een hyperbool, P is geen element van hyperbool

De oefening luidt als volgt:

Bepaal de vergelijking van de raaklijnen uit P(1,-7) aan x²-y²=16.

Deze soort oefening kan ook toegepast worden op de ellips, daarom moet ik ze kennen voor het examen, ik vindt maar niet de methode om dit op te lossen.

Kan iemand mij helpen?
Alvast bedankt

Dries
3de graad ASO - dinsdag 28 november 2006

Antwoord

de rechte door (1,-7) heeft parametervergelijking (1+t,-7+kt) met (1,k) de richtingsgetallen en t Î.
Deze rechte raakt aan x²-y²=16 als ze deze in slechts 1 punt snijdt. We moeten dus k bepalen zodat volgende vergelijking (beschouwd in de veranderelijke t) slechts 1 oplossing heeft.
(1+t)²-(-7+kt)²=16
=
t²+2t+1-k²t²+14kt-49-16=0
=
(1-k²)t²+(14k+2)t - 64 = 0

om slechts 1 enkele oplossing te hebben moet de discriminant dus gelijk zijn aan nul, m.a.w.:

(14k+2)²+4·64·(1-k²)=0
=
196k²+56k+4-256k²+256=0

Dit heeft als oplossingen:
k=-5/3 en k=13/5

We hebben dus twee raaklijnen
(1+t,-7-5t/3)
en
(1+t,-7+13t/5)

of dus

y=-7-5·(x-1)/3
en
y=-7+13·(x-1)/5

Koen

woensdag 29 november 2006

©2001-2024 WisFaq