Bewijs dat alle lengtes gelijk zijn

Er is een exponentiele familie functies van f_n(x)=e^x/n

De lijn y=3 snijdt de grafieken van f_n in het punt S_n en op de y-as in het punt S₀

bewijs voor elke n dat het lijnstuk S_n-$>$ S_n+1even lang is als S₀-$>$ S ₁

ik heb dit geprobeerd met de lengte integraal zoals deze op de formule kaart staat(VWO), alleen was het zo dat mijn antwoorden volgens het antwoord model en te groot waren en dat deze integraal er niet inzat. (de antwoorden van de integralen waren overigens allemaal even groot ( ^n+1·ln4₀$\int{}$f(x)=4 dx] - ^n+1·ln4₀$\int{}$f(x)= e^x/n+1 dx] - de uitkomst van deze integraal van n $\approx$2,30

Jeffre
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 23 november 2006

Antwoord

Er staat nergens dat je de lengte van een deel van de grafiek van f_n moet berekenen.
Je moet de grafieken van f_n snijden met de lijn y=3, oftewel de vergelijking f_n=3 oplossen.
Ik neem aan dat het functievoorschrift van f_n is f_n=e^(x/n) (haakjes).
Als ik e^(x/n)=3 oplos dan krijg ik x/n=ln(3), dus x=n·ln(3).
Voor n=0 en en =1 krijg ik de snijpunten x=0 en x=ln(3), het verschil van deze twee is ln(3), dus S0$\to$S 1=ln(3).
Als ik n en n+1 in vul dan krijg ik x=n·ln(3) en x=(n+1)·ln(3).
Trek ik deze twee van elkaar af dan krijg ik (n+1)·ln(3)-n·ln(3)=ln(3).

donderdag 23 november 2006

©2001-2024 WisFaq